Gruppi simmetrici e permutazioni
salve a tutti, ho letto la parte teorica sul testo di riferimento e anche gli esercizi proposti ma non riesco a capire come risolvere alcuni esercizi, mi spiegate come si risolve questo esercizio:
assegnata la permutazione:
$\sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),(2,4,7,1,8,5,3,6,11,10,12,9)) in S12$
sia $\alpha = \sigma^3423$
determinare il periodo di $\alpha$;
Detto $C$ l’insieme degli elementi di $S12$ che commutano con $\alpha$ , si provi che esso è un sottogruppo di $S12$.
Per determinare il periodo di $\alpha$ ho pensato che $3423-=3 mod(12)$ quindi il periodo dovrebbe essere 3, giusto?
Mentre per il secondo punto non saprei come fare.
Grazie mille
assegnata la permutazione:
$\sigma = ((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),(2,4,7,1,8,5,3,6,11,10,12,9)) in S12$
sia $\alpha = \sigma^3423$
determinare il periodo di $\alpha$;
Detto $C$ l’insieme degli elementi di $S12$ che commutano con $\alpha$ , si provi che esso è un sottogruppo di $S12$.
Per determinare il periodo di $\alpha$ ho pensato che $3423-=3 mod(12)$ quindi il periodo dovrebbe essere 3, giusto?
Mentre per il secondo punto non saprei come fare.
Grazie mille
Risposte
"TeM":
1) Regola aurea delle permutazioni: lavorare (quasi) sempre con la forma ciclica.!!
Direi che è una regola in generale di tutta l'algebra. Nel senso che è sempre meglio usare oggetti fattorizzati in qualche modo unico.
Grazie mille per le risposte ora è tutto più chiaro.
Visto che l'argomento è sempre lo stesso e non mi va di intasare il forum con richieste multiple vi faccio qualche altra domanda:
avendo due permutazioni in $S12$:
$\sigma = ((1,3,12,7) (8,5,6,2,11) (10,4,9))$
$\tau = ((1,5) (6,8,11) (12,3,2,7) (4,9,10))$
1) determinare l'intersezione $<\sigma> nn <\tau>$
2) determinare il periodo di $(\sigma^2 \tau^3)^243569983$
3) detto $H= <\sigma^8440>$, determinare $|H|$. Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Risposte:
1)
praticamente basta trovare i cicli che hanno in comune le due permutazioni, nel mio caso sarebbe
$<\sigma> nn <\tau> = (4,9,10)$, giusto?
2)
il periodo di $\sigma = 60$ mentre il periodo di $\tau = 12$
ora come conviene procedere in questo caso specifico?
si potrebbe calcolare la permutazione $\sigma^2$ poi $\tau^3$ fare il prodotto ed ottenere una nuova permutazione dove si va a calcolare la potenza di 24356993?
3)
qui non saprei come fare.
Visto che l'argomento è sempre lo stesso e non mi va di intasare il forum con richieste multiple vi faccio qualche altra domanda:
avendo due permutazioni in $S12$:
$\sigma = ((1,3,12,7) (8,5,6,2,11) (10,4,9))$
$\tau = ((1,5) (6,8,11) (12,3,2,7) (4,9,10))$
1) determinare l'intersezione $<\sigma> nn <\tau>$
2) determinare il periodo di $(\sigma^2 \tau^3)^243569983$
3) detto $H= <\sigma^8440>$, determinare $|H|$. Esiste un sottogruppo di H di ordine 3?
Risposte:
1)
praticamente basta trovare i cicli che hanno in comune le due permutazioni, nel mio caso sarebbe
$<\sigma> nn <\tau> = (4,9,10)$, giusto?
2)
il periodo di $\sigma = 60$ mentre il periodo di $\tau = 12$
ora come conviene procedere in questo caso specifico?
si potrebbe calcolare la permutazione $\sigma^2$ poi $\tau^3$ fare il prodotto ed ottenere una nuova permutazione dove si va a calcolare la potenza di 24356993?
3)
qui non saprei come fare.
scusa il ritardo, ho letto tutto ora ed ho capito benissimo, sei stato chiarissimo ti ringrazio.
Buona giornata a tutti.
Buona giornata a tutti.
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