Gruppi $S_n$
Qualcuno mi sa dire perché il gruppo delle permutazioni di $n$ elementi $S_n$ si chiama 'gruppo simmetrico'?
Io non riesco a vederci nessuna simmetria, l'ho chiesto anche alla professoressa di algebra e non ha saputo rispondere.
Io non riesco a vederci nessuna simmetria, l'ho chiesto anche alla professoressa di algebra e non ha saputo rispondere.
Risposte
I gruppi di simmetrie delle figure geometriche ( es il gruppo delle simmetrie del quadrato) sono gruppi di permutazioni. Si può infatti rappresentare ogni simmetria del quadrato come una permutazione dei suoi vertici.
@FE Sì, è vero; ma non tutte le permutazioni dei vertici di un quadrato sono simmetrie del quadrato.
@gabriella Prova a consultare il Passman - Permutation groups!
@gabriella Prova a consultare il Passman - Permutation groups!
@j18eos:
certo, $ 2*n != n! $ per $ n>3 $ . Tuttavia il fatto che esistesse un isomorfismo tra il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare e un sottogruppo di $ S_n $ mi sembrava sufficiente a motivare il nome " gruppo simmetrico"! Se c'è un altro motivo sono curioso anche io .
certo, $ 2*n != n! $ per $ n>3 $ . Tuttavia il fatto che esistesse un isomorfismo tra il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare e un sottogruppo di $ S_n $ mi sembrava sufficiente a motivare il nome " gruppo simmetrico"! Se c'è un altro motivo sono curioso anche io .
"FE":Veramente!? O_o ;-P
...$ 2*n != n! $ per $ n>3 $...
Comunque il nome di "gruppo simmetrico" è da ricercare dalla teoria di Galois, dato che da lì sono nati storicamente (e cronologicamente) i gruppi (finiti) di permutazioni; poi sono venuti i gruppi finiti con Cayley (non ti ricorda nulla questo nome?
) e i gruppi tout court con Klein e il suo programma di Erlangen. : )
da ricercare dalla teoria di Galois
il fatto che esistano espressioni algebriche delle radici di un'equazione che per alcune delle permutazioni di tali radici non cambiano di valore a me sembra lo stesso tale quale concetto di simmetria che si ha in una figura geometrica per quanto ( molto poco) ne so
Mi stai facendo sentire un diavolo in cattedra (cit. di Odifreddi)!
Il concetto di simmetria oggigiorno non è relegato alla pura geometria (euclidea) piana;
non so come Galois chiamasse gli oggetti con cui lavorava, però secondo la visione moderna: gli elementi del gruppo di Galois associato a un polinomio a coefficienti in un campo determinano le simmetrie delle radici (che esistono nel campo di spezzamento) di tale polinomio;
uscendo dall'algebra ed andando nel mondo della meccanica lagrangiana: c'è il concetto di simmetria di una lagrangiana, ovvero mappe di varietà differenziabili per cui una lagrangiana è invariante.
Come vedi, per simmetria si intende una funzione (in questi esempi) che "applicata" non cambia nulla!
Da questi esempi mi è venuta un'idea naive: il gruppo simmetrico di un insieme \(\displaystyle\Omega\neq\emptyset\) è il gruppo delle funzioni che fissano \(\displaystyle\Omega\) (in inglese è il gruppo delle funzioni set-wise di \(\displaystyle\Omega\)).
Il concetto di simmetria oggigiorno non è relegato alla pura geometria (euclidea) piana;
non so come Galois chiamasse gli oggetti con cui lavorava, però secondo la visione moderna: gli elementi del gruppo di Galois associato a un polinomio a coefficienti in un campo determinano le simmetrie delle radici (che esistono nel campo di spezzamento) di tale polinomio;
uscendo dall'algebra ed andando nel mondo della meccanica lagrangiana: c'è il concetto di simmetria di una lagrangiana, ovvero mappe di varietà differenziabili per cui una lagrangiana è invariante.
Come vedi, per simmetria si intende una funzione (in questi esempi) che "applicata" non cambia nulla!
Da questi esempi mi è venuta un'idea naive: il gruppo simmetrico di un insieme \(\displaystyle\Omega\neq\emptyset\) è il gruppo delle funzioni che fissano \(\displaystyle\Omega\) (in inglese è il gruppo delle funzioni set-wise di \(\displaystyle\Omega\)).
Innanzitutto grazie ad entrambi per le risposte, molto stimolanti (ma basta fare complimenti alle persone che scrivono su questo forum, se no si montano la testa 
)
La considerazioni sugli aspetti geometrici delle simmetrie sono la prima cosa che ho ipotizzato per spiegare il nome del gruppo simmetrico, ma le ho istintivamente escluse (ma il mio istinto può prendere cantonate pazzesche), perché pensavo che l'importanza del gruppo $S_N$ andasse al di là degli aspetti geometrici e poi perché se no la professoressa di algebra (che non è una qualunque, è una brava della Sapienza) avrebbe risposto subito.
Appena andrò in biblioteca a matematica guarderò senz'altro il Passman, e qualche libro di storia dell'algebra per capire un po' le origini, con Galois, di questo gruppo, e la storia della teoria dei gruppi in generale.
@j18eos: non so farmi un'idea della tua idea perché non so che vuol dire 'funzioni che fissano un insieme'
.
Ieri, sfogliando qualche libro di algebra, mi è venuta in mente un'ipotesi abbastanza semplice sul perché del nome 'gruppo simmetrico', che vi sottopongo. Potrebbe trattarsi di una simmmetria delle tavole moltiplicative del gruppo. Ho infatti guardato la tavola moltiplicativa di $S_3$, che vi riporto per comodità (anche se ci metterò mezz 'ora, sperando che sarà leggibile, non so tracciare le linee per fare una tabella).
I sei elementi di $S_3$ sono le permutazioni:
$s_1: 1 2,3 rightarrow 1,2,3$
$s_2: 1,2,3 rightarrow 2,3,1$
$s_3: 1,2,3 rightarrow 3,1,2$
$s_4: 1,2,3 rightarrow 1,3,2$
$s_5: 1,2,3 rightarrow 2,1,3$
$s_6: 1,2,3 rightarrow 3,2,1$
che danno la tavola moltiplicativa:
$ s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6$
$s_1 s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6$
$s_2 s_2 s_3 s_1 s_5 s_6 s_4$
$s_3 s_3 s_1 s_2 s_6 s_4 s_5$
$s_4 s_4 s_6 s_5 s_1 s_3 s_2$
$s_5 s_5 s_4 s_6 s_2 s_1 s_3$
$s_6 s_6 s_5 s_4 s_3 s_2 s_1$
La simmetria che io ci vedo è che se si legge una riga che comincia per un certo elemento, es. $s_2$, è uguale alla riga che finisce per lo stesso elemento, $s_2$, letta al contrario, da destra verso sinistra.
Spero che si capisca, se no mi spiego meglio (ora sono stremata dalla scrittura della tavola,che fa schifo, non riesco a scrivere decentemente, perché non mi fa mettere spazi tra le lettere, gli $s_(qualcosa)$ vengono tutti appiccicati, la prima riga andrebbe spostata di un posto a destra, ma non me lo fa fare, boh?, ma tanto comunque la conoscete da voi ).
)La considerazioni sugli aspetti geometrici delle simmetrie sono la prima cosa che ho ipotizzato per spiegare il nome del gruppo simmetrico, ma le ho istintivamente escluse (ma il mio istinto può prendere cantonate pazzesche), perché pensavo che l'importanza del gruppo $S_N$ andasse al di là degli aspetti geometrici e poi perché se no la professoressa di algebra (che non è una qualunque, è una brava della Sapienza) avrebbe risposto subito.
Appena andrò in biblioteca a matematica guarderò senz'altro il Passman, e qualche libro di storia dell'algebra per capire un po' le origini, con Galois, di questo gruppo, e la storia della teoria dei gruppi in generale.
@j18eos: non so farmi un'idea della tua idea perché non so che vuol dire 'funzioni che fissano un insieme'
.Ieri, sfogliando qualche libro di algebra, mi è venuta in mente un'ipotesi abbastanza semplice sul perché del nome 'gruppo simmetrico', che vi sottopongo. Potrebbe trattarsi di una simmmetria delle tavole moltiplicative del gruppo. Ho infatti guardato la tavola moltiplicativa di $S_3$, che vi riporto per comodità (anche se ci metterò mezz 'ora, sperando che sarà leggibile, non so tracciare le linee per fare una tabella).
I sei elementi di $S_3$ sono le permutazioni:
$s_1: 1 2,3 rightarrow 1,2,3$
$s_2: 1,2,3 rightarrow 2,3,1$
$s_3: 1,2,3 rightarrow 3,1,2$
$s_4: 1,2,3 rightarrow 1,3,2$
$s_5: 1,2,3 rightarrow 2,1,3$
$s_6: 1,2,3 rightarrow 3,2,1$
che danno la tavola moltiplicativa:
$ s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6$
$s_1 s_1 s_2 s_3 s_4 s_5 s_6$
$s_2 s_2 s_3 s_1 s_5 s_6 s_4$
$s_3 s_3 s_1 s_2 s_6 s_4 s_5$
$s_4 s_4 s_6 s_5 s_1 s_3 s_2$
$s_5 s_5 s_4 s_6 s_2 s_1 s_3$
$s_6 s_6 s_5 s_4 s_3 s_2 s_1$
La simmetria che io ci vedo è che se si legge una riga che comincia per un certo elemento, es. $s_2$, è uguale alla riga che finisce per lo stesso elemento, $s_2$, letta al contrario, da destra verso sinistra.
Spero che si capisca, se no mi spiego meglio (ora sono stremata dalla scrittura della tavola,che fa schifo, non riesco a scrivere decentemente, perché non mi fa mettere spazi tra le lettere, gli $s_(qualcosa)$ vengono tutti appiccicati, la prima riga andrebbe spostata di un posto a destra, ma non me lo fa fare, boh?, ma tanto comunque la conoscete da voi ).
"gabriella127":Mi sento io in imbarazzo...
...@j18eos: non so farmi un'idea della tua idea perché non so che vuol dire 'funzioni che fissano un insieme'
Siano \(\displaystyle\Omega\neq\emptyset\) un insieme ed \(\displaystyle f:\Omega\to\Omega\), allora dico che \(\displaystyle f\) fissa \(\displaystyle\Omega\) come insieme se \(\displaystyle f(\Omega)=\Omega\) (insomma \(\displaystyle f\in\mathrm{Sym}\Omega\)).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo