Gruppi quozienti e omomorfismo suriettivo
Siano \( H_1, \ldots, H_n \) dei sotto gruppi normali di \(G \) Consideriamo l'applicazione
\[ \phi : G \to G \setminus H_1 \times \ldots \times G \setminus H_n , g \mapsto (gH_1,\ldots,g H_n) \]
a) Dimostra che \( \ker(\phi)= H_1 \cap \ldots H_n \)
b) Dimostra che, se \( H_i \) è d'indice finito in \(G \), per tutti gli \( 1 \leq i \leq n \), e \( gcd( [G : H_i],[G:H_j])=1 \) per tutti gli \( i \neq j \), allora \( \phi \) è suriettiva e
\[ [G: H_1 \cap \ldots \cap H_n ] = \prod_{i=1}^{n} [ G: H_i] \]
Allora per a) vediamo che se \( g \in H_1 \cap \ldots H_n \Leftrightarrow g \in H_i \) per ogni \( i \).
\( gH_i = H_i \) per ogni \( i \) se e solo se \( g \in H_i \) per ogni \(i \).
b) non ho idea di come dimostrare che è suriettiva per poi utilizzare il primo teorema di isomorfismo.
Mi sto scervellando, come faccio a usare la condizione che gli indici sono tutti comprimi tra loro??
\[ \phi : G \to G \setminus H_1 \times \ldots \times G \setminus H_n , g \mapsto (gH_1,\ldots,g H_n) \]
a) Dimostra che \( \ker(\phi)= H_1 \cap \ldots H_n \)
b) Dimostra che, se \( H_i \) è d'indice finito in \(G \), per tutti gli \( 1 \leq i \leq n \), e \( gcd( [G : H_i],[G:H_j])=1 \) per tutti gli \( i \neq j \), allora \( \phi \) è suriettiva e
\[ [G: H_1 \cap \ldots \cap H_n ] = \prod_{i=1}^{n} [ G: H_i] \]
Allora per a) vediamo che se \( g \in H_1 \cap \ldots H_n \Leftrightarrow g \in H_i \) per ogni \( i \).
\( gH_i = H_i \) per ogni \( i \) se e solo se \( g \in H_i \) per ogni \(i \).
b) non ho idea di come dimostrare che è suriettiva per poi utilizzare il primo teorema di isomorfismo.
Mi sto scervellando, come faccio a usare la condizione che gli indici sono tutti comprimi tra loro??
Risposte
E' il teorema cinese dei resti per gruppi non abeliani? Fico.
L'ipotesi in b) significa che ciascun quoziente è finito, e la formula dei gradi ti dice che \([G:\ker\varphi]\) è divisibile per ciascun \(m_i := [G:H_i]\), e siccome sono coprimi è divisibile per il loro prodotto \(m=\prod m_i\). Ma ora, \(m\) è la cardinalità sia di \(G/\ker\varphi\cong \text{im }\varphi\), sia di \(G/H_i\times\dots\times G/H_n\), e quindi...
L'ipotesi in b) significa che ciascun quoziente è finito, e la formula dei gradi ti dice che \([G:\ker\varphi]\) è divisibile per ciascun \(m_i := [G:H_i]\), e siccome sono coprimi è divisibile per il loro prodotto \(m=\prod m_i\). Ma ora, \(m\) è la cardinalità sia di \(G/\ker\varphi\cong \text{im }\varphi\), sia di \(G/H_i\times\dots\times G/H_n\), e quindi...
Scusami ma come fai a dedurre che \( \left| G \setminus \ker \phi \right| = \prod_{i=1,\ldots,n} [G:H_i] \) ?
Se \( \phi \) è suriettiva è facile proprio per il teorema d'isomorfismo, ma ma se \( \phi \) non è suriettiva allora è falso! Quindi come non vedo come tu possa dimostrare \( \left| G \setminus \ker \phi \right| = \prod_{i=1,\ldots,n} [G:H_i] \) senza l'ipotesi che \( \phi \) è suriettiva.
Se \( \phi \) è suriettiva è facile proprio per il teorema d'isomorfismo, ma ma se \( \phi \) non è suriettiva allora è falso! Quindi come non vedo come tu possa dimostrare \( \left| G \setminus \ker \phi \right| = \prod_{i=1,\ldots,n} [G:H_i] \) senza l'ipotesi che \( \phi \) è suriettiva.
\(m\) divide \(|G/\ker\varphi|\) (non lo farebbe se \([G:H_i]\) non fossero a due a due coprimi: per ogni \(i\), \([G:\ker\varphi] = [G:H_i][H_i:\ker\varphi]=m_i[H_i:\ker\varphi]\)), quindi \(|G/\ker\varphi|=mr\).
Del resto però \(G/\ker\varphi\cong \text{im }\varphi\subseteq \prod {G/H_i}\) (cosa vera senza nessuna assunzione su \(\varphi\)), e però il prodotto ha \(m\) elementi.
Ora però, teorema di Lagrange e abbiamo finito: per quali \(r\) è vero che \(mr\) divide \(m\)?
Del resto però \(G/\ker\varphi\cong \text{im }\varphi\subseteq \prod {G/H_i}\) (cosa vera senza nessuna assunzione su \(\varphi\)), e però il prodotto ha \(m\) elementi.
Ora però, teorema di Lagrange e abbiamo finito: per quali \(r\) è vero che \(mr\) divide \(m\)?
"solaàl":
\(m\) divide \(|G/\ker\varphi|\) (non lo farebbe se \([G:H_i]\) non fossero a due a due coprimi: per ogni \(i\), \([G:\ker\varphi] = [G:H_i][H_i:\ker\varphi]=m_i[H_i:\ker\varphi]\)), quindi \(|G/\ker\varphi|=mr\).
Scusami ma \([G:\ker\varphi] = [G:H_i][H_i:\ker\varphi]=m_i[H_i:\ker\varphi]\) per ogni \( i \) implica che
\([G:\ker\varphi] \leq \prod_{i = 1,\ldots,n} [G:H_i][H_i:\ker\varphi] = m \prod_{i = 1,\ldots,n} [H_i:\ker\varphi] \)
E non
\([G:\ker\varphi] = m \prod_{i = 1,\ldots,n} [H_i:\ker\varphi] \)
Quindi non puoi concludere che \( m \) divide \([G:\ker\varphi] \).
Se \([G:\ker\varphi] = m_i h_i\) allora \([G:\ker\varphi]\) è divisibile per \(\text{mcm}(m_1,\dots,m_n)\); del resto qual è mcm tra una tupla di numeri coprimi?
OKay si!
Il fatto che come era impostata la domanda mi sembrava che io dovessi dimostrare che \( \phi \) suriettivo e poi dedurre da questo con il teorema d'isomorfismo che \( [G: \ker \phi] = m \). Tu hai fatto il contrario ovvero hai dimostrato che \( [G: \ker \phi] = m \) e hai dedotto che \( \phi \) è suriettivo.
Domanda si può procedere nel modo in cui provavo io? Ovvero dimostrare \( \phi \) suriettivo e dedurre \( [G: \ker \phi] = m \)?
Il fatto che come era impostata la domanda mi sembrava che io dovessi dimostrare che \( \phi \) suriettivo e poi dedurre da questo con il teorema d'isomorfismo che \( [G: \ker \phi] = m \). Tu hai fatto il contrario ovvero hai dimostrato che \( [G: \ker \phi] = m \) e hai dedotto che \( \phi \) è suriettivo.
Domanda si può procedere nel modo in cui provavo io? Ovvero dimostrare \( \phi \) suriettivo e dedurre \( [G: \ker \phi] = m \)?
Sia per gruppi abeliani che (in questa dimostrazione) per gruppi ti serviva usare una forma del seguente risultato: una funzione iniettiva tra insiemi della stessa cardinalità è anche suriettiva. Usare il fatto che \(\#(G/H) = [G]\) portava a casa la pagnotta.
Ora, una formulazione alternativa di CRT per gli anelli è che quando una tupla di ideali di \(R\) è coprima, ossia \(I_i + I_j = R\) per ogni coppia \(i,j\), allora se \(I = \bigcap I_k\), \(R/I\cong \prod R/I_k\). Dalla condizione di coprimalità si deduce che la mappa naturale \(R/I \to \prod R/I_k\) è suriettiva. (btw nota che non sto assumendo \(R\) unitario.)
Per i gruppi, direi che (forse, non ho controllato) la condizione che ti serve per concludere è che se gli indici degli \(H_k\) sono a due a due coprimi, allora \(\prod H_k = G\). Non so nemmeno se sia vero, in realtà, controlla tu!
Ora, una formulazione alternativa di CRT per gli anelli è che quando una tupla di ideali di \(R\) è coprima, ossia \(I_i + I_j = R\) per ogni coppia \(i,j\), allora se \(I = \bigcap I_k\), \(R/I\cong \prod R/I_k\). Dalla condizione di coprimalità si deduce che la mappa naturale \(R/I \to \prod R/I_k\) è suriettiva. (btw nota che non sto assumendo \(R\) unitario.)
Per i gruppi, direi che (forse, non ho controllato) la condizione che ti serve per concludere è che se gli indici degli \(H_k\) sono a due a due coprimi, allora \(\prod H_k = G\). Non so nemmeno se sia vero, in realtà, controlla tu!
"solaàl":Questo è falso, devi assumere che gli ideali siano a due a due coprimi. Esempio facile: $R=ZZ$, $I_1=I_2=2ZZ$, $I_3=3ZZ$.
Ora, una formulazione alternativa di CRT per gli anelli è che quando una tupla di ideali di \(R\) è coprima, ossia \(\sum I_k = R\), allora se \(I = \bigcap I_k\), \(R/I\cong \prod R/I_k\).
Ah, sì, pensavo a due ideali
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