Gruppi quoziente

[algebra1]

Ciao!! Stavo risolvendo un esercizio di algebra e ho qualche problema! Allora:
Dato il gruppo $G$ $=$ ${$ $((a,b),(0,c))$ $/$ $a,b,c$ $in$ $ZZ$$5$ $,$ $ac$ $!=$ $0$ $}$ ($ZZ$$5$ insieme delle classi resto modulo 5)
Ho provato che $G$ non è abeliano, poi dato l'insieme $H$ $=$ ${$ $((1,b),(0,1))$ $in$ $G$ $}$ ho provato che $H$ è sottogruppo normale di $G$. A questo punto l'esercizio mi chiede di studiare il gruppo quoziente $G$$/$$H$.
Cosa devo fare?? Io so che il gruppo quoziente $G$$/$$H$ $=$ ${$ $xH=Hx$ $/$ $x in G$ $}$, cioè quando le classi laterali destre e sinistre coincidono, giusto??

[mistake89]

No, quella definizione di gruppo quoziente è sbagliata.
Chiedere che per ogni $x in G$ $xH=Hx$ - ovvero che i laterali destri e sinistri coincidano - equivale a richiedere che il sottogruppo $H$ sia normale in $G$. Ma questo tu l'hai già provato.

Il gruppo quoziente è l'insieme dei laterali, ovvero di particolari classi di equivalenza in base alla relazione $g R g'$ se e solo se $g*g' ^(-1) in H$.
Prova anche a dare un'occhiata veloce sulla wiki http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_quoziente

Ora in pratica, ti si chiede di osservare: prese due matrici $A,B in G$, cerca di capire un po' quando ed in che modo $A-B in H$. Prova un po'