Gruppi pronormali aiutatemi

[sastra81]

come si fa a dimostare che :
un sottogruppo di un gruppo è normale se e solo se è ascendente e pronormale
grazie rispondetemi

[fields1]

Se magari posti la definizione di sottogruppo ascendente, vediamo se possiamo aiutarti..

[Principe2]

magari anche quella di "pronormale"

[sastra81]

Un sottogruppo H di un gruppo G si dice pronormale se e solo se per definizione
per ogni elemento x di G i sottogruppi H e Hallax[è il coniugato di H mediante x] ono coniugati nel sottogruppo generato da H e Hallax
un sottogruppo H è ascendente quando esiste una serie ascendente cioe decrescente di G alla quale appartengono H eG

[Principe2]

puoi ripetere la definizione di ascendente?
non credo d'averla capita...

[fields1]

Dimostro la cosa per i gruppi finiti, perché conosco in quel caso la definizione di serie ascendente. In ogni caso dovrebbe essere facile da generalizzare.
Sia $H$ un sottogruppo pronormale e ascendente di $G$. Allora sia $H_1,...,H_n$ una serie ascendente di $G$ contenente $H$: possiamo supporre che $H_1=H$ e $H_n=G$. Dimostriamo per induzione su $n$ che $H$ è un sottogruppo normale in $H_n$.

Se $n=1$, ovvio. Dunque supponiamo $n>1$. Sia $x\in H_n$ tale che, per assurdo, $H\ne xHx^(-1)$. $H_n$ contiene come sottogruppo normale $H_(n-1)$, dunque $xH_(n-1)x^(-1)=H_(n-1)$ e dunque $xHx^(-1)\sube H_(n-1)$. Ma poiché $H$ è pronormale e $\sube H_(n-1)$, segue che $xHx^(-1)$ dovrebbe essere coniugato a $H$ in $H_(n-1)$, ovvero una contraddizione, poiché $H$ è normale per ipotesi induttiva in $H_(n-1)$.

Dunque $H$ è normale in $G$.
L'altra direzione invece è banale. Spero di non avere fatto errori, è la prima volta che ho a che fare con questi concetti.