Gruppi Profiniti - Teoria di Galois
Buonasera amici.
Sto studiando la teoria di Galois e mi sono imbattuto, nel caso infinito, nella struttura di gruppo profinito. La riscrivo qui:
Un gruppo profinito $G$ è un gruppo topologico compatto, hausdorff e tale che i sottogruppi normali siano una base di intorni di 1 (elemento neutro di $G$).
Un gruppo topologico è un gruppo con una topologia che rende continua la moltiplicazione e l'inverso.
Bene, ora che siamo d'accordo sulle definizioni (a volte non coincidono) è il momento della domanda:
Sia $G$ un gruppo profinito. Se $H
Purtroppo la domanda è tanto di algebra quanto di topologia, ma non ho trovato la sezione adatta a coprire entrambi gli argomenti
Sto studiando la teoria di Galois e mi sono imbattuto, nel caso infinito, nella struttura di gruppo profinito. La riscrivo qui:
Un gruppo profinito $G$ è un gruppo topologico compatto, hausdorff e tale che i sottogruppi normali siano una base di intorni di 1 (elemento neutro di $G$).
Un gruppo topologico è un gruppo con una topologia che rende continua la moltiplicazione e l'inverso.
Bene, ora che siamo d'accordo sulle definizioni (a volte non coincidono) è il momento della domanda:
Sia $G$ un gruppo profinito. Se $H
Purtroppo la domanda è tanto di algebra quanto di topologia, ma non ho trovato la sezione adatta a coprire entrambi gli argomenti
Risposte
\(gH\) è l'immagine di $H$ mediante la moltiplicazione a sinistra \(g.\_ : G\to G\); \(g.\_\) è un omeomorfismo (ovvio), quindi è una mappa aperta. QED.
Perché ovvio? 
È ovvio perché se
\[
X\times Y\xrightarrow{f} Z
\] è continua anche la curried
\[
X\xrightarrow{({-},y)} X\times Y\xrightarrow{f} Z
\] è continua per ogni \( y\in Y \), perché \( ({-},y) \) è la mappa che ottieni dalla proprietà universale di \( X\times Y \) applicata all'identità e alla mappa che spara \( X\to Y \) costantemente a \( y \) ed è quindi continua. E adesso che \( g{-} \) è continua non dovresti avere problemi a trovare una sua inversa anche lei continua.
P.S Il secondo volume del libro di Giovanni (Éléments d'analyse, lo trovi in inglese ma mi pare che il pdf sia storpio) ha cose sui gruppi topologici ed è scritto molto bene. L'ho consultato qualche proprio qualche giorno fa c:
\[
X\times Y\xrightarrow{f} Z
\] è continua anche la curried
\[
X\xrightarrow{({-},y)} X\times Y\xrightarrow{f} Z
\] è continua per ogni \( y\in Y \), perché \( ({-},y) \) è la mappa che ottieni dalla proprietà universale di \( X\times Y \) applicata all'identità e alla mappa che spara \( X\to Y \) costantemente a \( y \) ed è quindi continua. E adesso che \( g{-} \) è continua non dovresti avere problemi a trovare una sua inversa anche lei continua.
P.S Il secondo volume del libro di Giovanni (Éléments d'analyse, lo trovi in inglese ma mi pare che il pdf sia storpio) ha cose sui gruppi topologici ed è scritto molto bene. L'ho consultato qualche proprio qualche giorno fa c:
Nah, più semplice. E' continua perché è continua (perché il gruppo è topologico: ogni moltiplicazione per un elemento è continua), biiettiva e la sua inversa è pure continua (è la moltiplicazione per un altro elemento, \(g^{-1}\)).
Gruppo topologico nella mia testa: gruppo \( (G,{\ast},({-})^{-1}) \) dove \( {\ast} \) e \( ({-})^{-1} \) sono continue. Se parti da qui come fai a dire bene che \( g{{-}} \) è continua altrimenti?
Ah, per me gruppo topologico prende come definizione che ogni \(g.\_, \_.g\) è continua, e deduce che \(G\times G\to G\) è continua... ma è un iff, si dimostra!
Ho capito perfettamente, la domanda è da considerarsi esaudita, ti ringrazio!
Purtroppo però non ho capito quale sia questo "secondo volume del libro di Giovanni
Purtroppo però non ho capito quale sia questo "secondo volume del libro di Giovanni
"megas_archon":Dici? Non ne sono sicuro, vedi qui (i commenti e la risposta). Esplicitando l'argomento, siccome ogni funzione biiettiva $G to G$ è continua rispetto alla topologia cofinita, con questa topologia la moltiplicazione a destra o a sinistra per un fissato elemento sono continue perché biiettive. D'altra parte ogni gruppo topologico T1 è anche T2 (per esempio perché la diagonale è chiusa, essendo la preimmagine di $1$ tramite $(x,y) mapsto xy^(-1)$), e la topologia cofinita non è T2 se $G$ è infinito.
Ah, per me gruppo topologico prende come definizione che ogni \(g.\_, \_.g\) è continua, e deduce che \(G\times G\to G\) è continua... ma è un iff, si dimostra!
Ouff, la topologia è proprio una malattia dello spirito; probabilmente pensavo alle varietà. E' il motivo per cui faccio topologia in posti da bimbi meno aspie, anzi, è il motivo per cui non la faccio proprio... buono a sapersi comunque.
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