Gruppi non semplici di ordine 6545

[SaraC1234]

Ciao ragazzi ho un problema con un esercizio riguardante i gruppi non semplici. Io ho l’ordine di un gruppo e devo dimostrare che sia non semplice. Io fattorizzo l’ordine in numeri primi
In questo caso abbiamo $6545$=$5*7*11*17$
Io uso i teoremi di Sylow e trovo dei sottogruppi p- Sylow. In questo caso però non mi escono i calcoli , non riesco ad arrivare all’ordine

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao, scrivi tutto quello che hai fatto e cercheremo di aiutarti.

[SaraC1234]

Allora indicando con $n_p$ i sottogruppi di Sylow ho trovato:
$n_17$= 1,35
$n_11$= 1,85,595
$n_7$= 1,85
$n_5$=1,11
Se considero 35 sottogruppi di Sylow di ordine 17 avrò 560 elementi
Se considero 595 sottogruppi si Sylow di ordine 11 avrò 5950 elementi
Sommo 560+5950= 6510
Mi rimangono 35 elementi per completare l’ordine del gruppo
Qualsiasi combinazione provo a fare non arrivò al risultato .

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ti dò un'idea.

Se $n_5=1$ allora hai finito, quindi puoi supporre $n_5 = 11$. Sia $P$ un $5$-Sylow di $G$.

$n_5=11$ significa che il normalizzante di $P$ in $G$ ha indice $11$. Sia $H=N_G(P)$ il normalizzante di $P$ in $G$.

$H$ ha indice $11$ quindi $|H|=|G|/11=5*7*17$.

Dimostra che $H$ ha un $7$-Sylow normale oppure un $17$-Sylow normale.

Deduci che il normalizzante in $G$ di un $7$-Sylow di $H$ contiene $H$ (oppure la stessa cosa vale per $17$).

D'altra parte tu conosci l'indice del normalizzante di un $7$-Sylow e di un $17$-Sylow (si tratta di $n_7$ e [tex]n_{17}[/tex] rispettivamente).

Riesci a concludere?

[SaraC1234]

No non riesco a dimostrare che ha un 7Sylow normale oppure un 17 Sylow normale

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Prova a scrivere cosa sei riuscita a fare.