Gruppi liberi - generatore del gruppo libero su S
Buongiorno a tutti.
La questione è la seguente: sia \(\displaystyle G \) un gruppo, e sia \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo; se \(\displaystyle G' \) è un gruppo e \(\displaystyle h:H \rightarrow G' \) è un omomorfismo di gruppi, è sempre possibile estendere \(\displaystyle h \) ad un omomorfismo \(\displaystyle h^* :G \rightarrow G' \) ? E se no, sotto quali condizioni del sottogruppo \(\displaystyle H \) e dell'omomorfismo \(\displaystyle h \)?
Dopo vi dico cosa c'entra tutto questo con i gruppi liberi
Grazie a tutti
La questione è la seguente: sia \(\displaystyle G \) un gruppo, e sia \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo; se \(\displaystyle G' \) è un gruppo e \(\displaystyle h:H \rightarrow G' \) è un omomorfismo di gruppi, è sempre possibile estendere \(\displaystyle h \) ad un omomorfismo \(\displaystyle h^* :G \rightarrow G' \) ? E se no, sotto quali condizioni del sottogruppo \(\displaystyle H \) e dell'omomorfismo \(\displaystyle h \)?
Dopo vi dico cosa c'entra tutto questo con i gruppi liberi
Grazie a tutti
Risposte
Hai bisogno che [tex]G'[/tex] sia un oggetto iniettivo (cfr. qui per il caso abeliano). Solo che solitamente non è banale trovare oggetti iniettivi, specie se lavoriamo in ambito non commutativo...
ajaj, non pensavo ci fosse bisogno di tirare in ballo queste cose...
Ti spiego il mio problema iniziale: Sia \(\displaystyle (G,f:S\rightarrow G) \) un gruppo libero sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \); voglio dimostrare che \(\displaystyle f(S) \) genera \(\displaystyle G \). A tale proposito, volevo dimostrare che il sottogruppo \(\displaystyle H \) generato da \(\displaystyle f(S) \) era un gruppo libero su \(\displaystyle S \), e quindi concludere che, per l'unicità a meno di isomorfismi del gruppo libero, \(\displaystyle H \simeq G\) e quindi \(\displaystyle H=G \). Il punto è che, dato \(\displaystyle G' \) gruppo e \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), se è vero che esiste sempre l'omomorfismo \(\displaystyle h:H \rightarrow G' \) (in quanto \(\displaystyle G \) è libero e \(\displaystyle f(S) \subseteq H, \) dunque esiste un omomorfismo...ecc e \(\displaystyle h \) è la sua restrizione ad \(\displaystyle H \) ) , non so se questo è unico! Sarebbe unico se ad esso corrispondesse sempre una sua estensione come omomorfismo su \(\displaystyle G \), ma evidentemente questo non è banale...
EDIT: un modo velocissimo per mostrarlo è far vedere che questo accade con un gruppo libero in particolare (tanto sono tutti isomorfi) e quindi ragionare sul gruppo delle "parole ridotte" , sulle lettere di S, esempio classico di costruzione di gruppo libero...io volevo cercare un ragionamento "standard" per poterlo magari applicare ad altre strutture algebriche in cui non ho a disposizione un esempio e voglio quindi sfruttare solo l'esistenza...
Ti spiego il mio problema iniziale: Sia \(\displaystyle (G,f:S\rightarrow G) \) un gruppo libero sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \); voglio dimostrare che \(\displaystyle f(S) \) genera \(\displaystyle G \). A tale proposito, volevo dimostrare che il sottogruppo \(\displaystyle H \) generato da \(\displaystyle f(S) \) era un gruppo libero su \(\displaystyle S \), e quindi concludere che, per l'unicità a meno di isomorfismi del gruppo libero, \(\displaystyle H \simeq G\) e quindi \(\displaystyle H=G \). Il punto è che, dato \(\displaystyle G' \) gruppo e \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), se è vero che esiste sempre l'omomorfismo \(\displaystyle h:H \rightarrow G' \) (in quanto \(\displaystyle G \) è libero e \(\displaystyle f(S) \subseteq H, \) dunque esiste un omomorfismo...ecc e \(\displaystyle h \) è la sua restrizione ad \(\displaystyle H \) ) , non so se questo è unico! Sarebbe unico se ad esso corrispondesse sempre una sua estensione come omomorfismo su \(\displaystyle G \), ma evidentemente questo non è banale...
EDIT: un modo velocissimo per mostrarlo è far vedere che questo accade con un gruppo libero in particolare (tanto sono tutti isomorfi) e quindi ragionare sul gruppo delle "parole ridotte" , sulle lettere di S, esempio classico di costruzione di gruppo libero...io volevo cercare un ragionamento "standard" per poterlo magari applicare ad altre strutture algebriche in cui non ho a disposizione un esempio e voglio quindi sfruttare solo l'esistenza...
Un controesempio banale è dato dall'identità di \(C_3\) e dalla sua immersione in \(\displaystyle S_3 \). Affinché l'identità si possa estendere ad \(\displaystyle S_3 \) ci dovrebbe essere un omomorfismo suriettivo da \(\displaystyle S_3 \) a \(\displaystyle C_3 \), ma come sappiamo non esiste.
"bestiedda2":
Ti spiego il mio problema iniziale: Sia \(\displaystyle (G,f:S\rightarrow G) \) un gruppo libero sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \); voglio dimostrare che \(\displaystyle f(S) \) genera \(\displaystyle G \).
Direi che è falso.
Prendi \(\displaystyle C_4 \), \(\displaystyle \mathbb{Z} \) come gruppo libero su un solo elemento e \(\displaystyle f:S\rightarrow G \) definita come \(\displaystyle 1\mapsto g^2 \). Ti sembra che \(\displaystyle g^2 \) sia un generatore di \(\displaystyle C_4 \)?
Se fosse come dici tu allora ogni sottogruppo di un gruppo genererebbe il gruppo, ma è banalmente falso.
Scusa, ma non ho capito la tua risposta...
Forse è meglio se inizio a chiarire io cosa intendo per gruppo libero:
Sia \(\displaystyle S \) un insieme non vuoto: si dice GRUPPO LIBERO su \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, qualunque sia il gruppo \(\displaystyle G' \) e la funzione \(\displaystyle f': S \rightarrow G' \) , esista sempre un omomorfismo \(\displaystyle h:G \rightarrow G' \) tale che \(\displaystyle f'=h \circ f \).
Potresti chiarire un pò le notazioni utilizzando questa impostazione per favore?
PS. Leggi l'EDIT del mio messaggio precedente, io credo che non ci siano errori...forse ci siamo capiti male...
Forse è meglio se inizio a chiarire io cosa intendo per gruppo libero:
Sia \(\displaystyle S \) un insieme non vuoto: si dice GRUPPO LIBERO su \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, qualunque sia il gruppo \(\displaystyle G' \) e la funzione \(\displaystyle f': S \rightarrow G' \) , esista sempre un omomorfismo \(\displaystyle h:G \rightarrow G' \) tale che \(\displaystyle f'=h \circ f \).
Potresti chiarire un pò le notazioni utilizzando questa impostazione per favore?
PS. Leggi l'EDIT del mio messaggio precedente, io credo che non ci siano errori...forse ci siamo capiti male...
Ok, pensavo che \(\displaystyle f \) fosse la funzione verso un gruppo. Uso \(\displaystyle F_S \) per indicare il gruppo libero su S, G lo lascio in genere per i gruppi generici. Inoltre in genere uso \(\displaystyle i \) o una lettera greca per l'immersione di \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle F_S \). Molti usano questa notazione.
Ok, in questo caso è molto più semplice:
\(\displaystyle h\colon F_S \twoheadrightarrow f(S) \hookrightarrow F_S \) estende \(\displaystyle f \). Ma anche l'identità estende \(\displaystyle f \) e allora \(\displaystyle h = \mathrm{id} \) per l'unicità dell'omomorfismo.
Ok, in questo caso è molto più semplice:
\(\displaystyle h\colon F_S \twoheadrightarrow f(S) \hookrightarrow F_S \) estende \(\displaystyle f \). Ma anche l'identità estende \(\displaystyle f \) e allora \(\displaystyle h = \mathrm{id} \) per l'unicità dell'omomorfismo.
"vict85":
Ok, pensavo che \(\displaystyle f \) fosse la funzione verso un gruppo. Uso \(\displaystyle F_S \) per indicare il gruppo libero su S, G lo lascio in genere per i gruppi generici. Inoltre in genere uso \(\displaystyle i \) o una lettera greca per l'immersione di \(\displaystyle S \) in \(\displaystyle F_S \). Molti usano questa notazione.
Ok, in questo caso è molto più semplice:
\(\displaystyle h\colon F_S \twoheadrightarrow f(S) \hookrightarrow F_S \) estende \(\displaystyle f \). Ma anche l'identità estende \(\displaystyle f \) e allora \(\displaystyle h = \mathrm{id} \) per l'unicità dell'omomorfismo.
Grazie, una banalità che non riuscivo a vedere
In sostanza, si tratta della proprietà universale del gruppo libero...
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