Gruppi Galois

[aram1]

Dal teorema di Abel-Ruffini risulta che un'equazione di grado superiore al quarto non è sempre risolubile per radicali, cioè le sue radici non sono esprimibili in termini delle quattro operazioni fondamentali e dell'estrazione della radice. Un criterio per determinare se un' equazione può essere risolta per radicali fu dato da Galois: f(x) è risolubile se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Ora, i gruppi simmetrici $S_2,S_3,S_4$ sono risolubili, mentre per $n\leq 5$ $ S_n$ non è risolubile. Come posso dedurre da quest'ultimo fatto che le equazioni fino al quarto grado sono risolubili? Non mi risulta che data f(x) di grado n, $S_n$ sia il suo gruppo di Galois, bensì il suo gruppo di Galois dovrebbe essere un sottogruppo di $S_n$, se non sbaglio.
Grazie a chi riesce ad aiutarmi!

[Paolo902]

"aram":Ora, i gruppi simmetrici $S_2,S_3,S_4$ sono risolubili, mentre per $n\leq 5$ $ S_n$ non è risolubile.

Qui volevi dire $n \geq 5$, immagino.

"aram": Come posso dedurre da quest'ultimo fatto che le equazioni fino al quarto grado sono risolubili? Non mi risulta che data f(x) di grado n, $S_n$ sia il suo gruppo di Galois, bensì il suo gruppo di Galois dovrebbe essere un sottogruppo di $S_n$, se non sbaglio.

Sottogruppi e quozienti di un gruppo risolubile sono risolubili.

[aram1]

Si, volevo dire $n \geq 5$, svista!
Come dimostro che quozienti di risolubili sono risolubili?

[Paolo902]

Se non ricordo male, si fa qualcosa del genere. Per prima cosa, si prova che $G$ è risolubile se e soltanto [tex]G^{(k)}=(e)[/tex] per un certo intero $k$ (dove [tex]G^{(k)}[/tex] è il commutatore di ordine $k$).

Ora osservi che se $\overline{G}$ è un'immagine omomorfa di $G$ il commutatore dell'immagine è l'immagine del commutatore. Da qui dovresti concludere che l'intero $k$ di sopra va bene anche per $\overline{G}$, cioè [tex]\overline{G}^{(k)}=(e)[/tex] che è la tesi.

Prova a vedere se riesci a sistemare i dettagli, è un po' che non vedo queste cose...

[aram1]

quindi la proposizione "$\forall n \geq 5$ esiste un polinomio di grado n il cui gruppo di Galois è $S_n$ e pertanto non è risloubile" non è errata? Sottogruppi di gruppi non risolubili sono per forza non risolubili?

[Paolo902]

"aram":quindi la proposizione "$\forall n \geq 5$ esiste un polinomio di grado n il cui gruppo di Galois è $S_n$ e pertanto non è risloubile" non è errata? 

Sono cose che si trovano nella dimostrazione di Abel-Ruffini. Se $\mathbb F$ è un campo e $\mathbb F (a_1, a_2, \ldots , a_n)$ è il campo delle funzioni razionali in $a_1, \ldots , a_n$ allora il gruppo di Galois del polinomio $p(x)=x^n+a_1x^{n-1} + \ldots + a_n$ su $\mathbb F (a_1, a_2, \ldots , a_n)$ è esattamente $S_n$, che per $n \ge 5$ non è risolubile.

"aram":Sottogruppi di gruppi non risolubili sono per forza non risolubili?

Ma no, certo che no. Prendi un gruppo non risolubile e considera un suo sottogruppo abeliano...

[aram1]

Ok, quindi solo in questo particolare caso che mi hai indicato il gruppo di Galois di un polinomio f(x) di grado n è esattamente $S_n$? Se f(x) non è monico il suo gruppo di Galois cambia?
Se come estensione di campi ne prendo una diversa il gruppo di Galois cambia e non è più $S_n$, ma può essere un suo sottogruppo?
Scusa ma l'argomento mi risulta ostico...

[Paolo902]

"aram":Ok, quindi solo in questo particolare caso che mi hai indicato il gruppo di Galois di un polinomio f(x) di grado n è esattamente $S_n$?

Ma no. Ad esempio, si dimostra (esercizio per te) che, presi un primo $p$ e un polinomio $p(x)$ di grado $p$ con esattamente due radici complesse (coniugate), il gruppo di Galois di $p(x)$ su $\mathbb Q$ è tutto $S_p$.

"aram":Se f(x) non è monico il suo gruppo di Galois cambia? Se come estensione di campi ne prendo una diversa il gruppo di Galois cambia e non è più $S_n$, ma può essere un suo sottogruppo?
Scusa ma l'argomento mi risulta ostico...

Perdonami tu, ma non capisco le domande. Ma hai studiato un po' di teoria dal libro/appunti?

[aram1]

invece il gruppo di Galois di un polinomio a coefficienti complessi?

[aram1]

Il problema è che non mi risulta così semplice riuscire a determinare il gruppo di Galois di un polinomio. A volte esso è tutto $S_n$,altre volte è solo un suo sottogruppo proprio. Mi chiedevo se c'è un modo per caprlo abbastanza velocemente. Dipende credo dall'anello in cui il polinomio ha i coefficienti? Dalla cardinalità dell'insieme delle sue radici?(che è sempre uguale al grado o no?) Ci sono questi aspetti che non mi sono chiari. Diepnde in che campo considero il polinomio, se quindi esso riuslta algebrico o trascendente? Ho un po' di confusione, ma non riesco a trovare delle spiegazioni chiare.