Gruppi finiti e sottogruppi di Sylow

[riccardo.carini]

Non riesco a risolvere questo esercizio sui sottogruppi di Sylow.

Sia $G$ un gruppo finito e siano $H,K$ sottogruppi normali di $G$ tali che $G=HK$ e sia $P$ un sottogruppo di Sylow di $G$. Mostrare che si ha $P=(P\capH)(P\capK)$.

So già che ogni elemento $x\inP$ si scrive come prodotto $x=hk$ e dovrei quindi mostrare che $h$ e $k$ stanno in P. So anche che poiché $H,K$ sono normali $P\capH$ e $P\capK$ sono sottogruppi di Sylow di $H$ e $K$ ma non vedo come questo possa aiutare...

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Osserva che poiché $(P \cap H)(P \cap K) \subseteq P$, basta mostrare che $|(P \cap H)(P \cap K)| = |P|$.

[riccardo.carini]

Ok allora io so che $$|G|= \frac{|H||K|}{|H\cap K|}$$ e so anche che $P\capH$ e $P\capK$ sono Sylow di $H$ e $K$, suppongo di ordine rispettivamente $p^h$ e $p^k$. D'altronde anche $P\capH\capK$ è sottogruppo di Sylow del sottogruppo normale $H\capK$, supponiamo di ordine $p^m$ e quindi posso scrivere $$|G|=\frac{p^{h+k}a}{p^mb}$$ dove $a,b$ sono interi coprimi con $p$. Quindi so che $P$ in quanto $p$-Sylow di $G$ ha ordine $p^{h+k-m}$ che è esattamente l'ordine di $(P\capH)(P\capK)$. Va bene?

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Va benissimo ciao

[riccardo.carini]

Grazie del suggerimento