Gruppi finiti
Sia dato un gruppo finito con cardinalità maggiore di 2. Vorrei provare a dimostrare che esiste sempre un elemento che non è inverso di se stesso.
se la cardinalità è finita e pari non esistono elementi diversi da se stessi (si accoppia un elemento con il suo inverso)...altrimenti se è dispari esiste sempre e solo un elemento che ha come inverso se stesso(si accoppiano allo stesso modo di prima).
se la cardinalità è finita e pari non esistono elementi diversi da se stessi (si accoppia un elemento con il suo inverso)...altrimenti se è dispari esiste sempre e solo un elemento che ha come inverso se stesso(si accoppiano allo stesso modo di prima).
Risposte
"ladepie":Questo non è vero.
Sia dato un gruppo finito con cardinalità maggiore di 2. Vorrei provare a dimostrare che esiste sempre un elemento che non è inverso di se stesso.
Prendi il gruppo $(mathbb{Z}_2 \times mathbb{Z}_2, +)$
Hai che $|mathbb{Z}_2 \times mathbb{Z}_2|=4 > 2$ ma ogni elemento è inverso di se stesso:
$(0,0)+(0,0)=(0,0)$ (vabbè, questo è banale)
$(1,0)+(1,0)=(0,0)$
$(1,1)+(1,1)=(0,0)$
$(0,1)+(0,1)=(0,0)$
Come osserva Gi8 ( 
), l'enunciato è falso. D'altra parte, lo si può correggere in questo modo (è davvero un classico): sia $G$ un gruppo finito di ordine pari. Allora esiste un $g\ne 1_G$ che ha ordine 2, cioè tale che $g=g^{-1}$ (ed anzi, si dimostra che il numero di tali elementi è dispari).
Ovviamente, senza Cauchy e Sylow.
), l'enunciato è falso. D'altra parte, lo si può correggere in questo modo (è davvero un classico): sia $G$ un gruppo finito di ordine pari. Allora esiste un $g\ne 1_G$ che ha ordine 2, cioè tale che $g=g^{-1}$ (ed anzi, si dimostra che il numero di tali elementi è dispari).Ovviamente, senza Cauchy e Sylow.
@PAolo90:
"Paolo90":Intendi certamente $g!= 1_G$
...sia $G$ un gruppo finito di ordine pari. Allora esiste un $g=1_G$ che ha ordine 2...
"Gi8":Intendi certamente $g!= 1_G$[/quote]
@PAolo90:
Sì, certo. Ho corretto la svista. Grazie!
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