Gruppi finiti

[valy1]

se considero un gruppo finito di ordine n, posso dire cnon certezza che che ogni suo sottogruppo è ciclico?

[dissonance]

beh no... come controesempio puoi prendere, in $D_n={text(id), \sigma, \sigma^2, ldots, \sigma^(n-1), \tau, \sigma\tau, ldots, \sigma^(n-1)\tau}=<\sigma,\tau>$ il sottogruppo $<\sigma^2, \tau>$ che non è ciclico.

Ora sono un poco arrugginito ma mi pare che il teorema sull'argomento è quello di Cauchy: se $G$ è di ordine $n$, per ogni divisore primo $p$ di $n$ esiste un sottogruppo ciclico di ordine $p$.

[miuemia]

ottimo quello che ha detto dissonance... ma anche forse una cosa più stupida credo... beh se $G$ è un gruppo finito non ciclico... allora ovviamente $G$ è sottogruppo di se stesso e non è ciclico. .
quindi non ogni sottogruppo di $G$ è ciclico.

[valy1]

mm..però a questo punto non riesco a capire il teorema di caratteriazzazion dei gruppi finiti..
il teorema dicee "sia n naturale e G un gruppo finito di ornine n , se per ogni divisore positivo di n esesite al più un sottogruppo H di G tale che la cardinalità (di H) sia uguale a d allora posso dire che esiste al più sottogruppi di H ciclici.."

[miuemia]

puoi scirvere meglio il teorema?

[valy1]

si scusa
" sia considerato n appartenente ai naturali e sia G un gruppo finito di ordine n,se per ogni divisore positivo d di n esiste al più un sottogruppo H di G tale che la cardinalità di H sia uguale a d allora posso dire che per ogni divisore positivo d di n esiste al piu un sottogruppo ciclico H di G tale che la sua cardinalità sia uguale a d"

[miuemia]

cosa non capisci?

[valy1]

perchè posso dire che il sottoinsieme è ciclico..

[miuemia]

xkè n è divisore di n e quindi esiste un sottogruppo di $G$ di cardinalità n che è ciclico... e allora quel sottogruppo è proprio G

[valy1]

hai ragione ho fatto una domanda stupida..grazie per l'aiuto

[vict85]

"valy":si scusa
" sia considerato n appartenente ai naturali e sia G un gruppo finito di ordine n,se per ogni divisore positivo d di n esiste al più un sottogruppo H di G tale che la cardinalità di H sia uguale a d allora posso dire che per ogni divisore positivo d di n esiste al piu un sottogruppo ciclico H di G tale che la sua cardinalità sia uguale a d"

Presumo che tu intenda dire che ogni sottogruppo è ciclico... perché come lo hai scritto tu potrebbe anche essercene uno che non lo è...

Prendiamo $n=p_1^(n_1)*p_2^(n_2)*p_3^(n_3)*p_4^(n_4)...$
Per il teorema di Sylow esiste dei sottogruppi di ordine $p_1^(n_1),\ p_2^(n_2),\ p_3^(n_3),\ p_4^(n_4),\ ...$ Per ipotesi ce n'é esattamente 1. Prendiamo un generico $p_i^(n_i)$. Se $n_i=1$ allora il sottogruppo è ciclico, quindi supponiamo $n_i >= 2$. Supponiamo che il sottogruppo con quella cardinalità non sia ciclico. Allora esistono almeno 2 elementi che non sono l'uno una potenza dell'altro. chiamiamo $x$ e $y$ questi elementi. Dato che sia $$, $$ sono p-gruppi questo contraddisce il fatto che non ci sia più di un gruppo con lo stesso ordine. Quindi tutti i p-sottogruppi di $G$ sono ciclici.

Ora però non ho voglia di provare ad andare avanti...