Gruppi e sottogruppi non banali
Chi sà dimostrarmi il motivo per il quale non possono esistere gruppi infiniti che non ammettono sottogruppi non banali?
Risposte
"Sa", senza accento 
Allora, prendi un gruppo infinito. Prendi un elemento non identico, e con lui l'insieme delle sue potenze. E' un sottogruppo, no? Bene, ora ci restano due casi: o esso è non banale, e allora abbiamo finito, oppure è tutto il gruppo. Ma allora prendi le sue potenze pari. Sono un gruppo, no?
Allora, prendi un gruppo infinito. Prendi un elemento non identico, e con lui l'insieme delle sue potenze. E' un sottogruppo, no? Bene, ora ci restano due casi: o esso è non banale, e allora abbiamo finito, oppure è tutto il gruppo. Ma allora prendi le sue potenze pari. Sono un gruppo, no?
"pic":
"Sa", senza accento
Allora, prendi un gruppo infinito. Prendi un elemento non identico, e con lui l'insieme delle sue potenze. E' un sottogruppo, no? Bene, ora ci restano due casi: o esso è non banale, e allora abbiamo finito, oppure è tutto il gruppo. Ma allora prendi le sue potenze pari. Sono un gruppo, no?
certo...è simile alla dimostrazione che stavo provando a buttar giù...
ok con il primo passo, prendendo un elemento che non sia l'elemento neutro (e dunque l'identità), hai dimostrato che è ciclico...
E ci siamo...
Se prende le potenze pari...ottengo un sottogruppo non banale...
Non vedo la contraddizione...
non me ne vogliano gli ammistratori (specie quelli cattivissimi)...
non cancello il post, ma non è più necessario sforzarsi dato che ho trovato online delle dispense
http://www.mat.unisi.it/matdid/981.pdf
dove vi è la dimostrazione del suddetto teorema (che l'herstein propone come secondo esercizio...
)
non cancello il post, ma non è più necessario sforzarsi dato che ho trovato online delle dispense
http://www.mat.unisi.it/matdid/981.pdf
dove vi è la dimostrazione del suddetto teorema (che l'herstein propone come secondo esercizio...
)
"angus89":
non è più necessario sforzarsi
Non capisco cosa vuoi dire: pic ha risposto esaurientemente alla tua domanda, no?
bé certo...
ma son io che non lo avevo capito...
Non mi era chiaro il motivo per il quale prendendo le potenze pari, e quindi il sottogruppo generato da $(a^2)$, arrivo a contraddizione...
Ecco... era necessario argomentare un pò...
Ora da quelle dispense ho tutto chiaro.
Non è certo colpa di pic se io non son riuscito a capire quello che ha scritto... nel senso che non sono abbastanza perspicace e ho bisogno di qualche passaggio in più...
ma son io che non lo avevo capito...
Non mi era chiaro il motivo per il quale prendendo le potenze pari, e quindi il sottogruppo generato da $(a^2)$, arrivo a contraddizione...
Ecco... era necessario argomentare un pò...
Ora da quelle dispense ho tutto chiaro.
Non è certo colpa di pic se io non son riuscito a capire quello che ha scritto... nel senso che non sono abbastanza perspicace e ho bisogno di qualche passaggio in più...
[mod="Fioravante Patrone"]No problem.[/mod] 
Beh, non è che ottenessi una contraddizione: semplicemente $(a^2)$ è sgp non banale (perché contenuto strettamente in G; andrebbe verificato che $a^2\ne 1$, ma ciò è ovvio se $(a)$ era tutto $G$).
Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.
"vict85":
Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.
Non è detto che ci sia un elemento di ordine infinito.
Prendi le parti di N, con la operazione di differenza simmetrica. Esso è un gruppo infinito. Ha elementi di ordine infinito?
Questo è per dire che il tuo ragionamento si può aggiungere al mio, ma da solo non regge.
"pic":
[quote="vict85"]Semplicemente il sottogruppo "ciclico" generato da un elemento di ordine infinito è isomorfo a $ZZ$ e $ZZ$ ha dei sottogruppi non banali e ogni sottogruppo di questo sottogruppo isomorfo a $ZZ$ è un sottogruppo proprio non banale del gruppo.
Non è detto che ci sia un elemento di ordine infinito.
Prendi le parti di N, con la operazione di differenza simmetrica. Esso è un gruppo infinito. Ha elementi di ordine infinito?
Questo è per dire che il tuo ragionamento si può aggiungere al mio, ma da solo non regge.[/quote]
Lo sapevo ma se hai un elemento di ordine finito il gruppo aveva banalmente un sottogruppo proprio non banale, la mia non era una dimostrazione... era solo una modifica alla seconda parte.
Comunque esistono gruppo infiniti con nessun elemento di ordine infinito. La prossima volta vedrò di essere meno vago...
scusate un secondo, gia che si stava parlando di gruppi ciclici..
potete spiegarmi per favore perche il gruppo $(ZZ,+)$ è generato dal solo numero 1??
le potenze di uno fanno tutte uno giusto?e allora come fanno a saltare fuori gli altri numeri?
potete spiegarmi per favore perche il gruppo $(ZZ,+)$ è generato dal solo numero 1??
le potenze di uno fanno tutte uno giusto?e allora come fanno a saltare fuori gli altri numeri?
LOL.
E' che parliamo di "potenze" quando usiamo la notazione moltiplicativa (sia $(G,\cdot)$ un gruppo tale che bla bla), che diventano multipli se usiamo quella additiva (come in $(Z, +)$
E' che parliamo di "potenze" quando usiamo la notazione moltiplicativa (sia $(G,\cdot)$ un gruppo tale che bla bla), che diventano multipli se usiamo quella additiva (come in $(Z, +)$
"Arad0R":
scusate un secondo, gia che si stava parlando di gruppi ciclici..
potete spiegarmi per favore perche il gruppo $(ZZ,+)$ è generato dal solo numero 1??
le potenze di uno fanno tutte uno giusto?e allora come fanno a saltare fuori gli altri numeri?
Semplicemente perché $ZZ$ è l'insieme dei multipli di uno, ogni numero $n$ può infatti essere scritto come la somma di $n$ $1$. Nello stesso modo $ZZ$ è generato da $-1$. E' più interessante a mio avviso notare che è anche generato da una coppia di numeri coprimi...
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