Gruppi e sottogruppi ciclici
Ciao ragazzi.
Io e l'algebra proprio non andiamo per niente d'accordo.....
Sia $C=$ un gruppo ciclico con 8 elementi e sia $G=C x C$ il prodotto diretto di $C$ con se stesso.
a) Che relazione sussiste tra il periodo di un elemento $(a,b)$ in $G$ e i periodi di $a$ e $b$ in $C$ ?
b) Sia $H$ un sottogruppo ciclico di $G$ di ordine 8. Dimostrare che $H$ ammette come generatore un alemento $(a,b)$ tale che $a=g$ oppure $b=g$
c) Determinare il numero di sottogruppi ciclici di G aventi ordine 8
a) Dopo un po' di prove e ragionamenti ho pensato che se $h$ è l'ordine di $(a,b)$ allora $(a,b)^h=(1,1)$ quindi deve valere contemporaneamente che $a^h=1$ e $b^h=1$, quindi $h$ deve essere divisibile sia per l'ordine di $a$ che per l'ordine di $b$, ovvero è il loro minimo comune multiplo. E' così? Se sì, c'è un modo più furbo di arrivarci?
b) Sappiamo che, visto che $H$ è un gruppo finito, un elemento $(a,b)$ che appartiene ad $H$ è suo generatore se il suo ordine è coprimo con l'ordine di $H$, ovvero 8, giusto?
Inoltre sappiamo che $a$ e $b$ appartengono a $C$ che ha ordine 8, quindi il loro ordine è un numero che divide 8, giusto?
Ma allora, se consideriamo un elemento $(g,b)$ di $H$, o un elemento $(a,g)$ di $H$, sappiamo che $g$ ha come periodo un numero coprimo con 8 (perchè g genera C che ha ordine 8), mentre $b$ nel primo caso e $a$ nel secondo, hanno come periodo un divisore di 8. Ma allora qualsiasi elemento (coppia) che abbia $g$ a primo o a secondo membro avrà sempre un periodo che non è coprimo con 8 (ordine di H), quindi non può essere generatore.
Sarà così??
c) Ma $G$ ha ordine 64? Allora sappiamo che ogni gruppo ciclico di ordine n ha esattamente un sottogruppo ciclico con ordine un divisore di n, quindi la risposta è 1 ?
Grazie a tutti
Io e l'algebra proprio non andiamo per niente d'accordo.....
Sia $C=
a) Che relazione sussiste tra il periodo di un elemento $(a,b)$ in $G$ e i periodi di $a$ e $b$ in $C$ ?
b) Sia $H$ un sottogruppo ciclico di $G$ di ordine 8. Dimostrare che $H$ ammette come generatore un alemento $(a,b)$ tale che $a=g$ oppure $b=g$
c) Determinare il numero di sottogruppi ciclici di G aventi ordine 8
a) Dopo un po' di prove e ragionamenti ho pensato che se $h$ è l'ordine di $(a,b)$ allora $(a,b)^h=(1,1)$ quindi deve valere contemporaneamente che $a^h=1$ e $b^h=1$, quindi $h$ deve essere divisibile sia per l'ordine di $a$ che per l'ordine di $b$, ovvero è il loro minimo comune multiplo. E' così? Se sì, c'è un modo più furbo di arrivarci?
b) Sappiamo che, visto che $H$ è un gruppo finito, un elemento $(a,b)$ che appartiene ad $H$ è suo generatore se il suo ordine è coprimo con l'ordine di $H$, ovvero 8, giusto?
Inoltre sappiamo che $a$ e $b$ appartengono a $C$ che ha ordine 8, quindi il loro ordine è un numero che divide 8, giusto?
Ma allora, se consideriamo un elemento $(g,b)$ di $H$, o un elemento $(a,g)$ di $H$, sappiamo che $g$ ha come periodo un numero coprimo con 8 (perchè g genera C che ha ordine 8), mentre $b$ nel primo caso e $a$ nel secondo, hanno come periodo un divisore di 8. Ma allora qualsiasi elemento (coppia) che abbia $g$ a primo o a secondo membro avrà sempre un periodo che non è coprimo con 8 (ordine di H), quindi non può essere generatore.
Sarà così??
c) Ma $G$ ha ordine 64? Allora sappiamo che ogni gruppo ciclico di ordine n ha esattamente un sottogruppo ciclico con ordine un divisore di n, quindi la risposta è 1 ?
Grazie a tutti
Risposte
"manuxy84":
Ciao ragazzi.
Io e l'algebra proprio non andiamo per niente d'accordo.....
Sia $C=$ un gruppo ciclico con 8 elementi e sia $G=C x C$ il prodotto diretto di $C$ con se stesso.
a) Che relazione sussiste tra il periodo di un elemento $(a,b)$ in $G$ e i periodi di $a$ e $b$ in $C$ ?
b) Sia $H$ un sottogruppo ciclico di $G$ di ordine 8. Dimostrare che $H$ ammette come generatore un alemento $(a,b)$ tale che $a=g$ oppure $b=g$
c) Determinare il numero di sottogruppi ciclici di G aventi ordine 8
a) Dopo un po' di prove e ragionamenti ho pensato che se $h$ è l'ordine di $(a,b)$ allora $(a,b)^h=(1,1)$ quindi deve valere contemporaneamente che $a^h=1$ e $b^h=1$, quindi $h$ deve essere divisibile sia per l'ordine di $a$ che per l'ordine di $b$, ovvero è il loro minimo comune multiplo. E' così? Se sì, c'è un modo più furbo di arrivarci?
b) Sappiamo che, visto che $H$ è un gruppo finito, un elemento $(a,b)$ che appartiene ad $H$ è suo generatore se il suo ordine è coprimo con l'ordine di $H$, ovvero 8, giusto?
Inoltre sappiamo che $a$ e $b$ appartengono a $C$ che ha ordine 8, quindi il loro ordine è un numero che divide 8, giusto?
Ma allora, se consideriamo un elemento $(g,b)$ di $H$, o un elemento $(a,g)$ di $H$, sappiamo che $g$ ha come periodo un numero coprimo con 8 (perchè g genera C che ha ordine 8), mentre $b$ nel primo caso e $a$ nel secondo, hanno come periodo un divisore di 8. Ma allora qualsiasi elemento (coppia) che abbia $g$ a primo o a secondo membro avrà sempre un periodo che non è coprimo con 8 (ordine di H), quindi non può essere generatore.
Sarà così??
c) Ma $G$ ha ordine 64? Allora sappiamo che ogni gruppo ciclico di ordine n ha esattamente un sottogruppo ciclico con ordine un divisore di n, quindi la risposta è 1 ?
Grazie a tutti
a) corretto, ma perché ne vuoi un'altra? Questa è senza dubbio la più semplice.
b) $mcm(||, ||) = 8$ se $|| = 8$ e/o se $||=8$
Supponiamo $||=8$ allora esiste un $t$ tale che $a^t=g$. $|<(g, b^t)>| = 8$ perché $|
Si dimostra in modo analogo per $||=8$
c) Attenzione G non è ciclico è solo abeliano quindi non di può fare quello che hai fatto tu.
1 - $<(g, g)>$
2 - $<(g, g^n)>$ (7 sottogruppi)
3 - $<(g^n, g)>$ (4 sottogruppi) sono solo 4 perché se $MCD(8,g^n)=1$ allora esisterà un $t$ tale che $(g^n,g)^t=(g,g^t)$
Se non ho fatto errori e non ho contato 2 volte qualche sottogruppo dovrebbero essere 12.
Grazie ancora vict...
Tutto chiaro.
Ciao
Tutto chiaro.
Ciao
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