Gruppi e Anelli MD

[Optimus Prime]

Salve a tutti,
mardedì farò il primo compitino di matematica discreta, gli argomenti sono: Insiemi, funzioni, relazioni (all'interno di questi ci sono anche permutazioni, partizioni, insiemi quozienti, classi di equivalenza), e fin qui non ho molti problemi, riesco a dimostrare quasi tutto quello che abbiamo fatto in classe. Il problema nasce per gruppi e anelli (e all'interno di questi ci sono omomorfismi, sottogruppi normali, gruppi quozioenti, ideali, congruenze, Teorema di lagrange e il I° teorema di omomorfismi per i gruppi).
Per esempio, ho dei dubbi che non riesco a risolvere, probabilmente perchè sono troppo ovvi. Quindi:

- Un omomorfismo è sempre iniettivo?
- Perchè tutte le congruenze sono del tipo "associate a un sottogruppo normale"?
- Come si dimostra il test della Normalità?

[miuemia]

non è vero che ogni omomorfisom è sempre iniettivo basta prenderne uno che ha nucleo nn banale!
tutte le congruenze sono associate a un gruppo normale xkè è quello rispetto a cui si può passare bene al quoziente.
per test di normalità intendi :vedere se un sottogruppo è normale?
beh ci sono diversi modi, il priumo può essere applicare la definizione oppure non so far vedere che tale sottogruppo è il nucleo di un ben precioso omomorfismo ecc ecc.

ciao ciao

[Optimus Prime]

"miuemia":non è vero che ogni omomorfisom è sempre iniettivo basta prenderne uno che ha nucleo nn banale!
tutte le congruenze sono associate a un gruppo normale xkè è quello rispetto a cui si può passare bene al quoziente.
per test di normalità intendi :vedere se un sottogruppo è normale?
beh ci sono diversi modi, il priumo può essere applicare la definizione oppure non so far vedere che tale sottogruppo è il nucleo di un ben precioso omomorfismo ecc ecc.

ciao ciao

Ciao, grazie per la risposta intanto. Per il test della normalità indendo proprio la proposizione, cioè:
"Se N è un sottogruppo normale allora per ogni n elemento di N e per ogni g elemento del gruppo
-gng appartiene a N"
Suppongo che -gng appartenga a N per ogni g e per ogni n: quindi voglio far vedere che gN = Ng con la doppia inclusione
Ma arrivo sempre a questo punto:
Sia x appartente a Ng allora
x = ng = (per la mia supposizione) (-gng)g = ??? = gn (Ng è contenuta in gN)
come posso far vedere che gn = ng?

[miuemia]

vedic eh è un se e solo se e poi non è che $gng\in N$ ma $gng^{-1}\in N$ attenzione!

[Optimus Prime]

si lo so che non è gng, (non sapevo come fare il -1). Quindi se la dimostro cs va bene

Sia x appartente a Ng allora
x = ng = (gn-g) g = gn(-gg) = gn (Ng è contenuta in gN)

Sia x appartente a gN allora
x = gn = (g-g)ng = ng (gN è contenuta in Ng)

Posso spostare il g e il -g tranquillamente?

Scusa la mia ignoranza ma sono un pò zucccone

[rubik2]

"Optimus Prime":come posso far vedere che gn = ng?

$gN=Ng$ non vuol dire necessariamente $gn=ng\quad AAg in G \quadAA n in N$ piuttosto è un $gn=mg$ per un opportuno $m in N$.

dai anche un'occhiata qua https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html