[GRUPPI] Domanda veloce

[Dobrogost]

Come dimostro che il prodotto diretto di due gruppi ciclici $H,K$ di ordine rispettivamente $p,q$ è ancora ciclico sse gli ordini sono coprimi? $hk$ è un possibile generatore?

[spugna2]

"Dobrogost":$hk$ è un possibile generatore?

Sì: se $H$ e $K $ sono generati rispettivamente da $h $ e $k $, allora $H times K $ è generato da $h $ e $k $ (o meglio, da $(h, e_K)$ e $(e_H, k) $, dove $e $ indica l'elemento neutro), quindi basta dimostrare che entrambi questi generatori sono potenze dell'elemento che hai scritto: dato che $H $ ha ordine $p $ risulta $(hk)^p=h^p k^p=k^p $, ed essendo $p $ e $q $ coprimi esiste un intero $n $ tale che $pn-=1\text{ (mod }q) $, ma allora $(hk)^(pn)=k^(pn)=k $; in modo del tutto analogo si ottiene $h $.

Per il viceversa puoi dimostrare che se $p $ e $q $ non sono coprimi, cioè se esiste un primo $r $ che divide entrambi, il prodotto non è ciclico: $H $ e $K $ hanno entrambi un sottogruppo isomorfo a $ZZ/(rZZ) $, quindi $H times K $ ha un sottogruppo isomorfo a $ (ZZ/(rZZ))^2 $, che non è ciclico, e con questo si conclude ricordando che se un gruppo è ciclico lo sono tutti i suoi sottogruppi.

[Dobrogost]

Ottimo, grazie mille!