Gruppi di torsione abeliani finitamente generati
Salve a tutti,
Vado subito al sodo: Sia $A$ un gruppo abeliano finitamente generato e sia $T(A)={a\inA | o(a)<\infty}$ il suo sottogruppo di torsione. Mi sto chiedendo se si possa riuscire a trovare un esempio in cui $|T(A)|=\infty$. Se $A$ non fosse stato abeliano avrei già detto che c'è $D_{\infty}$ che ha questa proprietà, anche se in quel caso $T(A)$ è solo un sottoinsieme.
Ho anche pensato al gruppo ${z\in \mathbb{C}|\exists n\in\mathbb{Z}\ \ z^n=1}$ che è infinito ed i suoi elementi hanno tutti ordine finito. Però temo che non sia finitamente generato.
Ero quasi sicuro che esistesse fino a poco fa un gruppo abeliano, finitamente generato, che abbia il sottogruppo di torsione infinito, ma comincio a pensare che mi sbagliassi... mi sa che se è finitamente generato è un problema... Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie in anticipo
Vado subito al sodo: Sia $A$ un gruppo abeliano finitamente generato e sia $T(A)={a\inA | o(a)<\infty}$ il suo sottogruppo di torsione. Mi sto chiedendo se si possa riuscire a trovare un esempio in cui $|T(A)|=\infty$. Se $A$ non fosse stato abeliano avrei già detto che c'è $D_{\infty}$ che ha questa proprietà, anche se in quel caso $T(A)$ è solo un sottoinsieme.
Ho anche pensato al gruppo ${z\in \mathbb{C}|\exists n\in\mathbb{Z}\ \ z^n=1}$ che è infinito ed i suoi elementi hanno tutti ordine finito. Però temo che non sia finitamente generato.
Ero quasi sicuro che esistesse fino a poco fa un gruppo abeliano, finitamente generato, che abbia il sottogruppo di torsione infinito, ma comincio a pensare che mi sbagliassi... mi sa che se è finitamente generato è un problema... Qualcuno mi può dare una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
No non può esistere un gruppo così. Infatti il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati dice che sono tutti della forma \(\mathbb Z^r\oplus T\) con \(r\ge 0\) e \(T\) finito.
"hydro":
No non può esistere un gruppo così. Infatti il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati dice che sono tutti della forma \(\mathbb Z^r\oplus T\) con \(r\ge 0\) e \(T\) finito.
Grazie mille. Quindi se un generico gruppo abeliano infinito è di torsione posso direttamente dire che non sarà mai e poi mai finitamente generato grazie a questa cosa. (Ad esempio $A:={z\in \mathbb{C}| \exists n \in \mathbb{Z} \ \ z^n=1}$ che è un gruppo abeliano di torsione, cioè $T(A)=A$, $|A|=\infty$, allora $A$ non può essere finitamente generato). Giusto?
Esatto. Poi non è che ci sia bisogno dell'intero teorema di struttura per vedere che un gruppo infinito abeliano di torsione non può essere finitamente generato: se i generatori sono $g_1,\ldots,g_m$ ed $N$ è tale che $Ng_i=0$ per ogni $i$ allora le combinazioni lineari distinte dei $g_i$ sono al più $N^m$.
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