Gruppi di permutazioni
Considerando un sottogruppo delle permutazioni di sei elementi ( $S_{6}$), generato da $a=(1 2 3 4)$ e $b=(3 4 5 6)$, quanti sono i suoi elementi? C'è un modo di generalizzare il risultato per questi gruppi aventi generatori che non commutano??
Risposte
Esattamente di che risultato parli?
A partire da un tot di generatori, trovare il numero di elementi del gruppo...
Il sottogruppo di $S_6$ generato da $a$ e $b$ e' isomorfo a $S_5$ ed ha quindi $120$ elementi.
Per risolvere problemi di questo tipo c'e' l'algoritmo di Schreier-Sims
http://en.wikipedia.org/wiki/Schreier-Sims_algorithm, ma in questo
caso relativamente piccolo si puo' procedere in modo diretto.
Lemma. Il gruppo $S_5$ e' generato dai $4$-cicli $\sigma=(1\ 4\ 3\ 2)$ e $\tau=(1\ 2\ 3\ 5)$.
Dimostrazione: L'elemento $\sigma^{-1}\tau$ e' un $5$-ciclo, mentre $\sigma\tau$ e' un $3$-ciclo.
Ne segue che il gruppo $H$ generato da $\sigma$ e $\tau$ ha almeno $5\cdot3\cdot4=60$ elementi.
Poiche' $H$ contiene permutazioni dispari, questo implica che $H=S_5$. Fatto.
Sia $X$ l'insieme dei sei $5$-sottgruppi di Sylow di $S_5$. Una volta scelta
una biiezione $\phi:X\leftrightarrow\{1,2,3,4,5,6\}$, l'azione via coniugio
di $S_5$ su $X$ ci da' un omomorfismo iniettivo $f:S_5 \rightarrow S_6$.
Per il lemma il sottogruppo di $S_6$ generato da $f(\sigma)$ e $f(\tau)$ e' isomorfo ad $S_5$.
Un piccolo calcolo fa vedere che $f(sigma)=(c\ d\ e\ f)\in S_6$ e $f(\tau)=(e\ f\ g\ h)\in S_6$
per certi $c,d,e,f,g,h$ che dipendono dalla biiezione $\phi$ scelta sopra.
A meno dei nomi dei simboli che stiamo permutando,
le permutazioni $(c\ d\ e\ f)$ e $(e\ f\ g\ h)$ sono quindi uguali alle
permutazioni $a$ e $b$ della domanda di @luca96. Il gruppo generato
da $a$ e $b$ e' quindi anche isomorfo a $S_5$ ed ha $120$ elementi.
Ultima osservazione: per ogni $n\ge 1$ il gruppo simmetrico $S_n$ possiede sottogruppi
isomorfi a $S_{n-1}$, vale a dire gli stabilizzatori di un punto. Solo per $n=6$ ce ne
sono altri. La loro esistenza ha a che fare con gli automorfismi eccezionali di $S_6$.
Si veda http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphi ... ing_groups
Per risolvere problemi di questo tipo c'e' l'algoritmo di Schreier-Sims
http://en.wikipedia.org/wiki/Schreier-Sims_algorithm, ma in questo
caso relativamente piccolo si puo' procedere in modo diretto.
Lemma. Il gruppo $S_5$ e' generato dai $4$-cicli $\sigma=(1\ 4\ 3\ 2)$ e $\tau=(1\ 2\ 3\ 5)$.
Dimostrazione: L'elemento $\sigma^{-1}\tau$ e' un $5$-ciclo, mentre $\sigma\tau$ e' un $3$-ciclo.
Ne segue che il gruppo $H$ generato da $\sigma$ e $\tau$ ha almeno $5\cdot3\cdot4=60$ elementi.
Poiche' $H$ contiene permutazioni dispari, questo implica che $H=S_5$. Fatto.
Sia $X$ l'insieme dei sei $5$-sottgruppi di Sylow di $S_5$. Una volta scelta
una biiezione $\phi:X\leftrightarrow\{1,2,3,4,5,6\}$, l'azione via coniugio
di $S_5$ su $X$ ci da' un omomorfismo iniettivo $f:S_5 \rightarrow S_6$.
Per il lemma il sottogruppo di $S_6$ generato da $f(\sigma)$ e $f(\tau)$ e' isomorfo ad $S_5$.
Un piccolo calcolo fa vedere che $f(sigma)=(c\ d\ e\ f)\in S_6$ e $f(\tau)=(e\ f\ g\ h)\in S_6$
per certi $c,d,e,f,g,h$ che dipendono dalla biiezione $\phi$ scelta sopra.
A meno dei nomi dei simboli che stiamo permutando,
le permutazioni $(c\ d\ e\ f)$ e $(e\ f\ g\ h)$ sono quindi uguali alle
permutazioni $a$ e $b$ della domanda di @luca96. Il gruppo generato
da $a$ e $b$ e' quindi anche isomorfo a $S_5$ ed ha $120$ elementi.
Ultima osservazione: per ogni $n\ge 1$ il gruppo simmetrico $S_n$ possiede sottogruppi
isomorfi a $S_{n-1}$, vale a dire gli stabilizzatori di un punto. Solo per $n=6$ ce ne
sono altri. La loro esistenza ha a che fare con gli automorfismi eccezionali di $S_6$.
Si veda http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphi ... ing_groups
Grazie mille, era quello che cercavo 
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