Gruppi di ordine tre/quattro e commutatività
Ho trovato argomenti che già trattavano il problema ma dovrei risolverlo senza usare Lagrange.
Devo dimostrare che se un gruppo ha tre/quattro elementi allora è abeliano.
Ho provato questo svolgimento senza voler presupporre esplicitamente che ogni elemento è l'inverso di se stesso.
$G={e,a,b}$
Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $G$ avrebbe due elementi ${e=b,a}$ contro l'ipotesi iniziale.
Se $ab=b \Rightarrow a=e$ ma allora $G$ avrebbe ancora due elementi ${e=a,b}$ contro l'ipotesi iniziale.
A questo punto essendo comunque che $ab \in G$ e $ba \in G$ allora abbiamo $ab=e=ba \Rightarrow ab=ba$
Pertanto $G$ è abeliano.
$G={e,a,b,c}$
Vista la chiusura in $G$ abbiamo che $ab \in G$
Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $o(G)=3$ contro l'ipotesi iniziale, pertanto $ab \ne a$
Analogamente, per lo stesso motivo $ab \ne b$
A questo punto $ab=e$ oppure $ab=c$
Nel primo caso essendo $ae=ea=a$ abbiamo che $aab=aba=a$ e cancellando $a$ a sinistra otteniamo che $ab=ba$ quindi $G$ è abeliano
Nel caso invece che $ab=c$ possiamo riscrivere
$G={e,a,b,ab}$
Sempre per la chiusura in $G$ abbiamo $ba \in G$
Quindi se $ba=e \Rightarrow ae=ea=a \Rightarrow aba=baa \Rightarrow ab=ba$
Se invece $ba \ne e \Rightarrow ba=ab$
In entrambe i casi $G$ è abeliano.
Secondo voi possono funzionare questi ragionamenti ?
Devo dimostrare che se un gruppo ha tre/quattro elementi allora è abeliano.
Ho provato questo svolgimento senza voler presupporre esplicitamente che ogni elemento è l'inverso di se stesso.
$G={e,a,b}$
Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $G$ avrebbe due elementi ${e=b,a}$ contro l'ipotesi iniziale.
Se $ab=b \Rightarrow a=e$ ma allora $G$ avrebbe ancora due elementi ${e=a,b}$ contro l'ipotesi iniziale.
A questo punto essendo comunque che $ab \in G$ e $ba \in G$ allora abbiamo $ab=e=ba \Rightarrow ab=ba$
Pertanto $G$ è abeliano.
$G={e,a,b,c}$
Vista la chiusura in $G$ abbiamo che $ab \in G$
Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $o(G)=3$ contro l'ipotesi iniziale, pertanto $ab \ne a$
Analogamente, per lo stesso motivo $ab \ne b$
A questo punto $ab=e$ oppure $ab=c$
Nel primo caso essendo $ae=ea=a$ abbiamo che $aab=aba=a$ e cancellando $a$ a sinistra otteniamo che $ab=ba$ quindi $G$ è abeliano
Nel caso invece che $ab=c$ possiamo riscrivere
$G={e,a,b,ab}$
Sempre per la chiusura in $G$ abbiamo $ba \in G$
Quindi se $ba=e \Rightarrow ae=ea=a \Rightarrow aba=baa \Rightarrow ab=ba$
Se invece $ba \ne e \Rightarrow ba=ab$
In entrambe i casi $G$ è abeliano.
Secondo voi possono funzionare questi ragionamenti ?
Risposte
"algibro":
$G={e,a,b,c}$
Vista la chiusura in $G$ abbiamo che $ab \in G$
Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $o(G)=3$ contro l'ipotesi iniziale, pertanto $ab \ne a$
Analogamente, per lo stesso motivo $ab \ne b$
A questo punto $ab=e$ oppure $ab=c$
Nel primo caso essendo $ae=ea=a$ abbiamo che $aab=aba=a$ e cancellando $a$ a sinistra otteniamo che $ab=ba$ quindi $G$ è abeliano
Nel caso invece che $ab=c$ possiamo riscrivere
$G={e,a,b,ab}$
Sempre per la chiusura in $G$ abbiamo $ba \in G$
Quindi se $ba=e \Rightarrow ae=ea=a \Rightarrow aba=baa \Rightarrow ab=ba$
Se invece $ba \ne e \Rightarrow ba=ab$
In entrambe i casi $G$ è abeliano.
provo a ragionare diversamente, anche se avrei piacere di capire se quello che ho scritto sopra è sufficiente.
Se $o(G)=2n$ ovvero se un gruppo ha un numero pari di elementi, ed escludiamo l'elemento identico abbiamo $2n-1$ elementi che debbono tutti avere in $G$ il rispettivo inverso. Li conto in questa maniera:
$1)$ considero $a \in G$ ed il suo inverso $a^-1 \in G$ e mi rimangono così $(2n-1)-2=(2n-3)$ elementi;
$2)$ considero $b \in G$ ed il suo inverso $b^-1 \in G$ e mi rimangono così $(2n-3)-2=(2n-5)$ elementi;
$...$
$n-1)$ considero $r \in G$ ed il suo inverso $r^-1 \in G$ e mi rimangono così $2n-[2(n-2)+1]-2=2n-2n+3-2=1$ elemento;
Quest'ultimo elemento è solo e ciò significa che ci deve essere un elemento in $G$ il sui inverso è se stesso.
A questo punto se ad esempio $aa=a^2=e$ non può essere che $ab=e$ (perché avremmo che $ab=aa \Rightarrow b=a$ incompatibile con le premesse) e pertanto $ab=c$ dunque:
$G={e,a,b,ab}$
$ba \in G$
$ba=e \Rightarrow ba=aa \Rightarrow b=a$ impossibile,
Rimane che $ba=ab$
$G$ è abeliano.
Che ne dite ? Sono fattibili entrambe le dimostrazioni ?
Sì è tutto corretto. In particolare, il ragionamento iniziale del secondo post è un modo molto elementare (puramente di conteggio) per mostrare che in ogni gruppo di ordine pari esiste necessariamente un elemento di ordine due (caso particolare del teorema, più generale, di Cauchy).
Tuttavia non capisco l'inizio del tuo primo post, dove dici che non vuoi assumere che ogni elemento è inverso di se stesso. Questo non è certamente vero per il gruppo di ordine 3 ad esempio.
Tuttavia non capisco l'inizio del tuo primo post, dove dici che non vuoi assumere che ogni elemento è inverso di se stesso. Questo non è certamente vero per il gruppo di ordine 3 ad esempio.
"algibro":
provo a ragionare diversamente, anche se avrei piacere di capire se quello che ho scritto sopra è sufficiente.
Se $o(G)=2n$ ovvero se un gruppo ha un numero pari di elementi, ed escludiamo l'elemento identico abbiamo $2n-1$ elementi che debbono tutti avere in $G$ il rispettivo inverso. Li conto in questa maniera:
$1)$ considero $a \in G$ ed il suo inverso $a^-1 \in G$ e mi rimangono così $(2n-1)-2=(2n-3)$ elementi;
$2)$ considero $b \in G$ ed il suo inverso $b^-1 \in G$ e mi rimangono così $(2n-3)-2=(2n-5)$ elementi;
$...$
$n-1)$ considero $r \in G$ ed il suo inverso $r^-1 \in G$ e mi rimangono così $2n-[2(n-2)+1]-2=2n-2n+3-2=1$ elemento;
[strike]Quest'ultimo elemento è solo e ciò significa che[/strike] ci deve essere un elemento in $G$ il sui inverso è se stesso.
A questo punto se ad esempio $aa=a^2=e$ non può essere che $ab=e$ (perché avremmo che $ab=aa \Rightarrow b=a$ incompatibile con le premesse) e pertanto $ab=c$ dunque:
$G={e,a,b,ab}$
$ba \in G$
$ba=e \Rightarrow ba=aa \Rightarrow b=a$ impossibile,
Rimane che $ba=ab$
$G$ è abeliano.
Che ne dite ? Sono fattibili entrambe le dimostrazioni ?
Ciò che ho barrato nel tuo intervento è sbagliato. Quello che sai è che esiste un numero dispari di elementi di ordine 2. E infatti esiste un gruppo di ordine 4 i cui elementi sono tutti di ordine 2: il gruppo di Klein. In effetti esistono solo due possibili gruppi di ordine 4 e solo uno di ordine 3.
Il tuo errore più grande sulle dimostrazioni di ordine 4 è comunque che in tutte le dimostrazioni ti dimentichi di analizzare i prodotti \(\displaystyle ac \), \(\displaystyle ca \), \(\displaystyle bc \) e \(\displaystyle cb \) (in un gruppo abeliano tutti gli elementi commutano, non solo due particolari).
Le tue dimostrazioni le trovo inoltre un po' prolisse. In particolare ridimostri molte volte che se \(\displaystyle gg' = g \) allora \(\displaystyle g' = g^{-1}gg' = g^{-1}g = e \) e il suo equivalente ad elementi scambiati. Quindi ti suggerisco di fare questa osservazione all'inizio e di usarla in seguito.
Dopo questa osservazione la tua dimostrazione per il gruppo di ordine 3 diventa: siccome \(\displaystyle ab \) e \(\displaystyle ba \) non possono essere uguali a \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \), l'unica possibilità è che si abbia \(\displaystyle ab = e = ba \).
Per il gruppo di ordine 4, nel caso \(\displaystyle ab = e \) hai dimostrato, piuttosto inutilmente[nota]L'inverso di un elemento in un gruppo è sia inverso destro che sinistro.[/nota], che \(\displaystyle ab = ba \) ma non hai detto nulla su \(\displaystyle c \). D'altra parte, per l'unicità dell'inverso e l'osservazione precedente, si deve avere \(\displaystyle ac = b = ca \), \(\displaystyle bc = a = cb \) e \(\displaystyle c^2 = e \).
Inoltre hai fatto un errore anche nel caso \(\displaystyle ab = c \), infatti sotto le ipotesi \(\displaystyle ab = c \), non potevi avere \(\displaystyle ba = e \) (perché avevi già escluso che \(\displaystyle b \) fosse l'inverso di \(\displaystyle a \)). Senza considerare che avresti dovuto analizzare, anche in questo caso, i prodotti \(\displaystyle ac \), \(\displaystyle ca \), \(\displaystyle bc \) e \(\displaystyle cb \).
"vict85":
Ciò che ho barrato nel tuo intervento è sbagliato. Quello che sai è che esiste un numero dispari di elementi di ordine 2. E infatti esiste un gruppo di ordine 4 i cui elementi sono tutti di ordine 2: il gruppo di Klein. In effetti esistono solo due possibili gruppi di ordine 4 e solo uno di ordine 3.
Innanzitutto grazie della risposta.
Il problema, su Herstein, viene proposto prima di un eventuale accenno al gruppo di Klein e prima di introdurre addirittura la nozione di sottogruppo.
Ad ogni modo, come faccio a sapere che esiste un numero dispari di elementi di ordine 2 ? Nel senso che, se non mi metto a "contare" gli elementi come ho fatto e verificare che, escluso l'elemento identico, mi rimangono un numero dispari di elementi i quali dovranno tutti avere un proprio inverso e quindi, supponendo che $\forall a \in G a \ne a^-1$, mi rimane fuori un generico elemento $b \in G | b^-1=b \Rightarrow b^2=e$ come portei fare ?
"vict85":
Il tuo errore più grande sulle dimostrazioni di ordine 4 è comunque che in tutte le dimostrazioni ti dimentichi di analizzare i prodotti \(\displaystyle ac \), \(\displaystyle ca \), \(\displaystyle bc \) e \(\displaystyle cb \) (in un gruppo abeliano tutti gli elementi commutano, non solo due particolari).
Le tue dimostrazioni le trovo inoltre un po' prolisse. In particolare ridimostri molte volte che se \(\displaystyle gg' = g \) allora \(\displaystyle g' = g^{-1}gg' = g^{-1}g = e \) e il suo equivalente ad elementi scambiati. Quindi ti suggerisco di fare questa osservazione all'inizio e di usarla in seguito.
Cavoli che dormita che ho fatto, hai assolutamente ragione !
(volevo intendere dei generici $a,b \in G$ ma non andrebbe comunque bene...)
"vict85":
Dopo questa osservazione la tua dimostrazione per il gruppo di ordine 3 diventa: siccome \(\displaystyle ab \) e \(\displaystyle ba \) non possono essere uguali a \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \), l'unica possibilità è che si abbia \(\displaystyle ab = e = ba \).
Chiarissimo !
"vict85":
Per il gruppo di ordine 4, nel caso \(\displaystyle ab = e \) hai dimostrato, piuttosto inutilmente[nota]L'inverso di un elemento in un gruppo è sia inverso destro che sinistro.[/nota], che \(\displaystyle ab = ba \) ma non hai detto nulla su \(\displaystyle c \). D'altra parte, per l'unicità dell'inverso e l'osservazione precedente, si deve avere \(\displaystyle ac = b = ca \), \(\displaystyle bc = a = cb \) e \(\displaystyle c^2 = e \).
Inoltre hai fatto un errore anche nel caso \(\displaystyle ab = c \), infatti sotto le ipotesi \(\displaystyle ab = c \), non potevi avere \(\displaystyle ba = e \) (perché avevi già escluso che \(\displaystyle b \) fosse l'inverso di \(\displaystyle a \)). Senza considerare che avresti dovuto analizzare, anche in questo caso, i prodotti \(\displaystyle ac \), \(\displaystyle ca \), \(\displaystyle bc \) e \(\displaystyle cb \).
giusto, altra dormita, comunque la strada è quella, lunga, di analizzare i possibili prodotti.
grazie ancora.
"Steven":
Tuttavia non capisco l'inizio del tuo primo post, dove dici che non vuoi assumere che ogni elemento è inverso di se stesso. Questo non è certamente vero per il gruppo di ordine 3 ad esempio.
Certamente, è che volevo arrivarci a fine ragionamento e non presupporlo come ipotesi iniziale. Rileggendo il mio messaggio mi ero effettivamente spiegato male.
Grazie comunque.
Ad esempio, l'esercizio successivo propone di dimostrare che se $G$ ha cinque elementi allora è abeliano.
Se utilizzassi Lagrange il problema sarebbe presto risolto, essendo cinque numero primo, gli unici sottoinsiemi avrebbero ordine 1 ovvero 5 pertanto per $a \in G, a \ne e$ il sottogruppo ciclico $(a)$ di $G$ sarebbe lo stesso $G$ e pertanto $G$ è abeliano.
Ma solo per curiosità vorrei capire come dimostrarlo senza detta nozione.
Provo per lo meno solo ad iniziare il ragionamento (il meno prolisso possibile
) per capire se la strada può essere corretta.
$G={e,a,b,c,d}$
Per due generici $a,b \in G, a\ne b \ne e$ abbiamo solo le seguenti possibilità:
$1) ab=e$
$2) ab=c$
$3) ab=d$
$4) ab=cd$
$5) ab=dc$
$6) ab=bd$
Ipotizzo che sia vera la 1), $ab=e \Rightarrow ab=ba$
Seguendo questa ipotesi le uniche possibilità per $ac$ sono:
(a) $ac=b, a(ac)=a(ca) \Rightarrow ac=ca$;
(b) $ac=d$ se fosse che $ac \ne ca \Rightarrow ca=b$ ma se $ca=b$ abbiamo visto che $ca=ac$, quindi $ac=d=ca$;
(c) $ac=bd$ allora $ace=edb \Rightarrow acab=abdb \Rightarrow ca=bd$
....
.......
Se utilizzassi Lagrange il problema sarebbe presto risolto, essendo cinque numero primo, gli unici sottoinsiemi avrebbero ordine 1 ovvero 5 pertanto per $a \in G, a \ne e$ il sottogruppo ciclico $(a)$ di $G$ sarebbe lo stesso $G$ e pertanto $G$ è abeliano.
Ma solo per curiosità vorrei capire come dimostrarlo senza detta nozione.
Provo per lo meno solo ad iniziare il ragionamento (il meno prolisso possibile
) per capire se la strada può essere corretta.$G={e,a,b,c,d}$
Per due generici $a,b \in G, a\ne b \ne e$ abbiamo solo le seguenti possibilità:
$1) ab=e$
$2) ab=c$
$3) ab=d$
$4) ab=cd$
$5) ab=dc$
$6) ab=bd$
Ipotizzo che sia vera la 1), $ab=e \Rightarrow ab=ba$
Seguendo questa ipotesi le uniche possibilità per $ac$ sono:
(a) $ac=b, a(ac)=a(ca) \Rightarrow ac=ca$;
(b) $ac=d$ se fosse che $ac \ne ca \Rightarrow ca=b$ ma se $ca=b$ abbiamo visto che $ca=ac$, quindi $ac=d=ca$;
(c) $ac=bd$ allora $ace=edb \Rightarrow acab=abdb \Rightarrow ca=bd$
....
.......
"algibro":
[quote="vict85"]
Ciò che ho barrato nel tuo intervento è sbagliato. Quello che sai è che esiste un numero dispari di elementi di ordine 2. E infatti esiste un gruppo di ordine 4 i cui elementi sono tutti di ordine 2: il gruppo di Klein. In effetti esistono solo due possibili gruppi di ordine 4 e solo uno di ordine 3.
Innanzitutto grazie della risposta.
Il problema, su Herstein, viene proposto prima di un eventuale accenno al gruppo di Klein e prima di introdurre addirittura la nozione di sottogruppo.
Ad ogni modo, come faccio a sapere che esiste un numero dispari di elementi di ordine 2 ? Nel senso che, se non mi metto a "contare" gli elementi come ho fatto e verificare che, escluso l'elemento identico, mi rimangono un numero dispari di elementi i quali dovranno tutti avere un proprio inverso e quindi, supponendo che $\forall a \in G a \ne a^-1$, mi rimane fuori un generico elemento $b \in G | b^-1=b \Rightarrow b^2=e$ come portei fare ?
[/quote]
La mia digressione sul gruppo di Klein era solo per visualizzare la situazione, ma ovviamente non è necessaria a dimostrare l'abelianità.
Il fatto che il numero di elementi di ordine 2 è dispari deriva dal fatto che ci sono un numero positivo di elementi, che l'inverso dell'identità è banalmente l'identità e che ogni elemento non di ordine due ha un inverso distinto. In sostanza l'insieme di elementi che non hanno ordine due è dispari (un numero pari di elementi più l'identità).
Riguardo alla tua ultima dimostrazione, ci sono solo 3 possibilità: \(ab = e\), \(ab = c\) e \(ab = d\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo