Gruppi di ordine 30
Ciao a tutti..Ho il seguente esercizio da proporre: Quanti gruppi di ordine 30 esistono a meno di isomorfismi?
Io ho proseguito in questo modo:
$|G|=30=2*15$
15 è dispari pertanto esiste un sottogruppo $H_{15}
Guardando ai possibili omomorfismi $ \theta :C_2\rightarrow Aut(C_{15})\cong C_2 \times C_4$, se $a$ genera $C_2$ e $(b,1),(1,c)$ generano $C_2\times C_4$ allora ci sono 3 possibilità:
1) quello banale $\theta(a)=1$ che dà luogo a $C_2 \times_1 C_{15}= C_{30} $
2) $\theta(a)=(b,1)$ che corrisponde all'automorfismo $x\rightarrow x^{-1}$ e $C_{15}\times_{\theta} C_2\cong D_{15}$
3)$\theta(a)=(1,c^2)$ che corrisponde a $x\rightarrow x^{4}$...il prodotto semidiretto di questo non lo conosco.
Mi manca comunque ancora un caso. Qualche idea? mi viene in mente $S_3\times C_5$
In generale c'è un modo per sapere se sono state viste tutte le varie possibilità?
Grazie
Io ho proseguito in questo modo:
$|G|=30=2*15$
15 è dispari pertanto esiste un sottogruppo $H_{15}
Guardando ai possibili omomorfismi $ \theta :C_2\rightarrow Aut(C_{15})\cong C_2 \times C_4$, se $a$ genera $C_2$ e $(b,1),(1,c)$ generano $C_2\times C_4$ allora ci sono 3 possibilità:
1) quello banale $\theta(a)=1$ che dà luogo a $C_2 \times_1 C_{15}= C_{30} $
2) $\theta(a)=(b,1)$ che corrisponde all'automorfismo $x\rightarrow x^{-1}$ e $C_{15}\times_{\theta} C_2\cong D_{15}$
3)$\theta(a)=(1,c^2)$ che corrisponde a $x\rightarrow x^{4}$...il prodotto semidiretto di questo non lo conosco.
Mi manca comunque ancora un caso. Qualche idea? mi viene in mente $S_3\times C_5$
In generale c'è un modo per sapere se sono state viste tutte le varie possibilità?
Grazie
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