Gruppi di ordine 2010
Non per voler essere in tema 
ma cosa possiamo dire dei gruppi di ordine 2010?
$2010 = 2*3*5*67$.
E' una cosa che ho pensato adesso così per via del capodanno... Probabilmente ci penserò anche stasera, tra seitan al cumino, grano saraceno e guacamole.
ma cosa possiamo dire dei gruppi di ordine 2010?$2010 = 2*3*5*67$.
E' una cosa che ho pensato adesso così per via del capodanno... Probabilmente ci penserò anche stasera, tra seitan al cumino, grano saraceno e guacamole.
Risposte
Io non so dire nulla perchè non ho ancora gli strumenti, ma la domanda mi aveva incuriosito: cosa possiamo dire?
Intanto, si può arrivare a dire che un gruppo di ordine 2010 è risolubile e il suo 67-Sylow è normale.
A proposito, io sapevo di un risultato generale (basato sul teorema di Feit-Thompson) che diceva che se 4 non divide |G| allora G è risolubile. Non so se sia vero o se me lo sono sognato, voi lo conoscete?
A proposito, io sapevo di un risultato generale (basato sul teorema di Feit-Thompson) che diceva che se 4 non divide |G| allora G è risolubile. Non so se sia vero o se me lo sono sognato, voi lo conoscete?
Per il teorema di Schur-Zassenhaus il 67-Sylow $N$ è complementato e due qualsivoglia complementi di $N$ sono coniugati. Quindi $G$ è un prodotto semidiretto [tex]G=N \rtimes H[/tex] e [tex]H^1(H,N)=0[/tex]. Restano da elencare le possibilità per $G//N$ (isomorfo ad $H$) e per l'omomorfismo $H to Aut(N) cong C_{66}$. La sua immagine sarà ovviamente contenuta in $C_6$.
Sono giunto alla conclusione che a meno di isomorfismi i gruppi di ordine 2010 sono 12.
Abbiamo $2010 = 2*3*5*67$.
Lemma 1. C'è un unico gruppo di ordine [tex]15[/tex] a meno di isomorfismi, quello ciclico. Si ha [tex]Aut(C_{15}) \cong C_4 \times C_2[/tex].
Prova: Se [tex]G[/tex] è un gruppo di ordine [tex]15[/tex] allora per i teoremi di Sylow i sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex] sono normali, quindi [tex]G[/tex] è il prodotto diretto di [tex]C_3[/tex] e [tex]C_5[/tex] e quindi [tex]G \cong C_{15}[/tex]. Per quanto riguarda il gruppo degli automorfismi, basta ricordare che [tex]\text{Aut}(C_{15})=U(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})[/tex] e fare i conti.
Lemma 2. I gruppi di ordine 30 a meno di isomorfismi sono [tex]C_{30}[/tex], [tex]D_{30}[/tex], [tex]D_{10} \times C_3[/tex] e [tex]S_3 \times C_5[/tex].
Prova: Ricordo che il gruppo diedrale [tex]D_{2n}[/tex] ammette la presentazione [tex]D_{2n} = \langle g,h\ |\ g^n=1,\ g^h=g^{-1} \rangle[/tex]. Sia [tex]G[/tex] un gruppo di ordine [tex]30[/tex]. Per quanto discusso qui (o per considerazioni basate sui teoremi di Sylow) esiste un sottogruppo [tex]H[/tex] di [tex]G[/tex] di ordine [tex]15[/tex], cioè indice [tex]2[/tex], quindi normale, e [tex]H \cong C_{15}[/tex] (lemma 1). [tex]H[/tex] è complementato (un complemento è generato da un qualsiasi elemento di ordine [tex]2[/tex]), sia [tex]T= \langle t \rangle[/tex] un complemento. Allora [tex]G = H \rtimes T[/tex] e basta elencare le possibilità per l'omomorfismo [tex]\phi: T \to \text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2[/tex] (vd. lemma 1) per conoscere [tex]G[/tex]. Ci sono quattro possibilità per l'immagine di [tex]t[/tex] in [tex]\text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2[/tex]: l'identità o un elemento di ordine [tex]2[/tex]. Scriviamo [tex]H= \langle h \rangle[/tex]. Le possibilità sono:
1) [tex]\phi(t)=1[/tex]. In tal caso [tex]H[/tex] è centrale e quindi [tex]G \cong C_{30}[/tex].
2) [tex]\phi(t)(h)=h^{-1}[/tex]. In tal caso [tex]G \cong D_{30}[/tex] (basta ricordare la presentazione di [tex]D_{2n}[/tex]).
3) [tex]\phi(t)(h)=h^4[/tex]. In tal caso [tex]\phi(t)[/tex] fissa [tex]h^5[/tex] e inverte [tex]h^3[/tex], quindi [tex]G \cong D_{10} \times C_3[/tex].
4) [tex]\phi(t)(h)=h^{11}[/tex]. In tal caso [tex]\phi(t)[/tex] fissa [tex]h^3[/tex] e inverte [tex]h^5[/tex], quindi [tex]G \cong S_3 \times C_5[/tex] (ricordo che [tex]D_6 \cong S_3[/tex]).
CVD
Ora preso [tex]G[/tex] di ordine 2010 sappiamo che il [tex]67[/tex]-Sylow [tex]N[/tex] (ciclico di ordine [tex]67[/tex]) è normale e complementato da[tex]H[/tex] di ordine [tex]30[/tex] (per il teorema di Schur-Zassenhaus), quindi [tex]G=N \rtimes H[/tex]. Rimane da determinare l'omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(N) \cong C_{66}[/tex], la cui immagine è contenuta in [tex]C_6[/tex]. Ho già osservato che [tex]G[/tex] è risolubile (poiché [tex]N[/tex] e [tex]G/N[/tex] lo sono). Osserviamo che se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono due gruppi finiti il numero di omomorfismi [tex]A \to B[/tex] di immagine [tex]I \leq B[/tex] è uguale al numero di sottogruppi normali [tex]C[/tex] di [tex]A[/tex] tali che [tex]A/C \cong I[/tex] moltiplicato per il numero di automorfismi di [tex]I[/tex]. Si hanno quattro casi.
1) [tex]H = C_{30}[/tex]. Ci sono 4 omomorfismi possibili [tex]C_{30} \to C_6[/tex] (corrispondenti ai quattro sottogruppi di [tex]C_{30}[/tex] di indici 1, 2, 3, 6).
2) [tex]H=D_{30}[/tex]. Ci sono 2 omomorfismi possibili [tex]D_{30} \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di [tex]D_{30}[/tex] di indice 3 non è normale e il sottogruppo di indice 6 è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a [tex]S_3[/tex]).
3) [tex]H=D_{10} \times C_3[/tex]. Ci sono 4 omomorfismi possibili [tex]D_{10} \times C_3 \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1,2,3,6, che sono tutti normali di quoziente ciclico).
4) [tex]H=S_3 \times C_5[/tex]. Ci sono 2 omomorfismi possibili [tex]S_3 \times C_5 \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di indice [tex]3[/tex] non è normale e il sottogruppo di indice [tex]6[/tex] è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a [tex]S_3[/tex]).
In totale quindi i casi possibili sono 12.
Abbiamo $2010 = 2*3*5*67$.
Lemma 1. C'è un unico gruppo di ordine [tex]15[/tex] a meno di isomorfismi, quello ciclico. Si ha [tex]Aut(C_{15}) \cong C_4 \times C_2[/tex].
Prova: Se [tex]G[/tex] è un gruppo di ordine [tex]15[/tex] allora per i teoremi di Sylow i sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex] sono normali, quindi [tex]G[/tex] è il prodotto diretto di [tex]C_3[/tex] e [tex]C_5[/tex] e quindi [tex]G \cong C_{15}[/tex]. Per quanto riguarda il gruppo degli automorfismi, basta ricordare che [tex]\text{Aut}(C_{15})=U(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z})[/tex] e fare i conti.
Lemma 2. I gruppi di ordine 30 a meno di isomorfismi sono [tex]C_{30}[/tex], [tex]D_{30}[/tex], [tex]D_{10} \times C_3[/tex] e [tex]S_3 \times C_5[/tex].
Prova: Ricordo che il gruppo diedrale [tex]D_{2n}[/tex] ammette la presentazione [tex]D_{2n} = \langle g,h\ |\ g^n=1,\ g^h=g^{-1} \rangle[/tex]. Sia [tex]G[/tex] un gruppo di ordine [tex]30[/tex]. Per quanto discusso qui (o per considerazioni basate sui teoremi di Sylow) esiste un sottogruppo [tex]H[/tex] di [tex]G[/tex] di ordine [tex]15[/tex], cioè indice [tex]2[/tex], quindi normale, e [tex]H \cong C_{15}[/tex] (lemma 1). [tex]H[/tex] è complementato (un complemento è generato da un qualsiasi elemento di ordine [tex]2[/tex]), sia [tex]T= \langle t \rangle[/tex] un complemento. Allora [tex]G = H \rtimes T[/tex] e basta elencare le possibilità per l'omomorfismo [tex]\phi: T \to \text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2[/tex] (vd. lemma 1) per conoscere [tex]G[/tex]. Ci sono quattro possibilità per l'immagine di [tex]t[/tex] in [tex]\text{Aut}(H) \cong C_4 \times C_2[/tex]: l'identità o un elemento di ordine [tex]2[/tex]. Scriviamo [tex]H= \langle h \rangle[/tex]. Le possibilità sono:
1) [tex]\phi(t)=1[/tex]. In tal caso [tex]H[/tex] è centrale e quindi [tex]G \cong C_{30}[/tex].
2) [tex]\phi(t)(h)=h^{-1}[/tex]. In tal caso [tex]G \cong D_{30}[/tex] (basta ricordare la presentazione di [tex]D_{2n}[/tex]).
3) [tex]\phi(t)(h)=h^4[/tex]. In tal caso [tex]\phi(t)[/tex] fissa [tex]h^5[/tex] e inverte [tex]h^3[/tex], quindi [tex]G \cong D_{10} \times C_3[/tex].
4) [tex]\phi(t)(h)=h^{11}[/tex]. In tal caso [tex]\phi(t)[/tex] fissa [tex]h^3[/tex] e inverte [tex]h^5[/tex], quindi [tex]G \cong S_3 \times C_5[/tex] (ricordo che [tex]D_6 \cong S_3[/tex]).
CVD
Ora preso [tex]G[/tex] di ordine 2010 sappiamo che il [tex]67[/tex]-Sylow [tex]N[/tex] (ciclico di ordine [tex]67[/tex]) è normale e complementato da[tex]H[/tex] di ordine [tex]30[/tex] (per il teorema di Schur-Zassenhaus), quindi [tex]G=N \rtimes H[/tex]. Rimane da determinare l'omomorfismo [tex]H \to \text{Aut}(N) \cong C_{66}[/tex], la cui immagine è contenuta in [tex]C_6[/tex]. Ho già osservato che [tex]G[/tex] è risolubile (poiché [tex]N[/tex] e [tex]G/N[/tex] lo sono). Osserviamo che se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono due gruppi finiti il numero di omomorfismi [tex]A \to B[/tex] di immagine [tex]I \leq B[/tex] è uguale al numero di sottogruppi normali [tex]C[/tex] di [tex]A[/tex] tali che [tex]A/C \cong I[/tex] moltiplicato per il numero di automorfismi di [tex]I[/tex]. Si hanno quattro casi.
1) [tex]H = C_{30}[/tex]. Ci sono 4 omomorfismi possibili [tex]C_{30} \to C_6[/tex] (corrispondenti ai quattro sottogruppi di [tex]C_{30}[/tex] di indici 1, 2, 3, 6).
2) [tex]H=D_{30}[/tex]. Ci sono 2 omomorfismi possibili [tex]D_{30} \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di [tex]D_{30}[/tex] di indice 3 non è normale e il sottogruppo di indice 6 è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a [tex]S_3[/tex]).
3) [tex]H=D_{10} \times C_3[/tex]. Ci sono 4 omomorfismi possibili [tex]D_{10} \times C_3 \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1,2,3,6, che sono tutti normali di quoziente ciclico).
4) [tex]H=S_3 \times C_5[/tex]. Ci sono 2 omomorfismi possibili [tex]S_3 \times C_5 \to C_6[/tex] (corrispondenti ai sottogruppi di indici 1 e 2), infatti il sottogruppo di indice [tex]3[/tex] non è normale e il sottogruppo di indice [tex]6[/tex] è normale ma il relativo quoziente non è ciclico (è isomorfo a [tex]S_3[/tex]).
In totale quindi i casi possibili sono 12.
"Martino":
Ora preso $G$ di ordine 2010 sappiamo che il $67$-Sylow $N$ (ciclico di ordine $67$) è normale e complementato da $H$ di ordine $30$, .
Come fai a dire che esiste in G un sottogruppo di ordine 30?
"alvinlee88":Come fai a dire che esiste in G un sottogruppo di ordine 30?[/quote]Ho usato senza citarlo il teorema di Schur-Zassenhaus. Ora specifico.
[quote="Martino"]Ora preso $G$ di ordine 2010 sappiamo che il $67$-Sylow $N$ (ciclico di ordine $67$) è normale e complementato da $H$ di ordine $30$, .
L'avevo scritto nell'intervento precedente.
naturalmente c'entra poco con il topic, però è una curiosità che ho trovato in una mailing list:
Buon 2*3*5*(7+11+13+17+19) a tutti!
"Martino":Non mi torna il punto 3) nella dimostrazione del lemma 2). Se prendo ad esempio $h=2$ in $H$ allora $2^5=2$, dovrebbe valere che $(2^5)^4 =2^5$, cioè $2^4=2$, ma $2^4$ non fa $2$, fa $1$. Cosa è che non sto capendo?
3) [tex]\phi(t)(h)=h^4[/tex]. In tal caso [tex]\phi(t)[/tex] fissa [tex]h^5[/tex] e inverte [tex]h^3[/tex], quindi [tex]G \cong D_{10} \times C_3[/tex].
In che senso "prendo $h=2$"? $h$ è un generatore del gruppo $H$, che è ciclico di ordine $15$. Tu hai scritto $2^4=1$ (non ho capito perché) e quindi in ogni caso il tuo $h$ non ha ordine $15$.
"Martino":
In che senso "prendo $h=2$"? $h$ è un generatore del gruppo $H$, che è ciclico di ordine $15$. Tu hai scritto $2^4=1$ (non ho capito perché) e quindi in ogni caso il tuo $h$ non ha ordine $15$.
Perchè $2^4 =16$ che è $1$ modulo $15$
forse sto facendo casino con la notazione moltiplicativa e la notazione additiva. Con quella additiva mi torna ora
Non importa che notazione usi, l'importante è che $h$ abbia ordine $15$. Ma tieni conto che io ho usato la notazione moltiplicativa quindi è meglio mantenere quella. E per fare i conti non serve dare un valore ad $h$, basta sapere che ha ordine $15$.
"Martino":
Non importa che notazione usi, l'importante è che $h$ abbia ordine $15$. Ma tieni conto che io ho usato la notazione moltiplicativa quindi è meglio mantenere quella. E per fare i conti non serve dare un valore ad $h$, basta sapere che ha ordine $15$.
Ok, ti ringrazio. E' che quando ho visto la notazione moltiplicativa non so perchè mi sono messo a lavorare in $(H\\{0},*)$ ma sbagliavo, infatti usavo il teorema di Eulero. L'errore era proprio che invece avrei dovuto lavorare in $(H,+)$ dove $h^{15}=e_{H}$ (con la notazione moltiplicativa).
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