Gruppi di Galois
Salve a tutti,
Sto incontrando difficoltà nel dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi di Galois è banale. Mi spiego meglio.
Ho $\mathbb{F}$, $\mathbb{K}_1$ e $\mathbb{K}_2$ campi tali che $\mathbb{K}_1\supseteq \mathbb{F}$ estensione di Galois, $\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ estensione di grado finito, $\mathbb{K}_1\cap \mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$ e $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ di Galois.
Vorrei dimostrare che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2} / \mathbb{F}) \cong Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \rtimes Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$
Sono bloccato all'ultimo punto in cui voglio far vedere che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2) = {id}$
La mia idea: Voglio far vedere che il campo fisso di $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$ è $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$.
Se $\varphi \in Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$ allora $\varphi$ fissa sia $\mathbb{K}_1$ che $\mathbb{K}_2$. A priori mi tornerebbe anche che $varphi$ fissi $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$, ma non capisco come intervenga il fatto che $\mathbb{K}_1\cap\mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$.
Grazie in anticipo
Sto incontrando difficoltà nel dimostrare che l'intersezione di due sottogruppi di Galois è banale. Mi spiego meglio.
Ho $\mathbb{F}$, $\mathbb{K}_1$ e $\mathbb{K}_2$ campi tali che $\mathbb{K}_1\supseteq \mathbb{F}$ estensione di Galois, $\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ estensione di grado finito, $\mathbb{K}_1\cap \mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$ e $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2\supseteq \mathbb{F}$ di Galois.
Vorrei dimostrare che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2} / \mathbb{F}) \cong Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \rtimes Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$
Sono bloccato all'ultimo punto in cui voglio far vedere che $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2) = {id}$
La mia idea: Voglio far vedere che il campo fisso di $Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$ è $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$.
Se $\varphi \in Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_1) \cap Aut( {\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2}/\mathbb{K}_2)$ allora $\varphi$ fissa sia $\mathbb{K}_1$ che $\mathbb{K}_2$. A priori mi tornerebbe anche che $varphi$ fissi $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$, ma non capisco come intervenga il fatto che $\mathbb{K}_1\cap\mathbb{K}_2 = \mathbb{F}$.
Grazie in anticipo
Risposte
Scusa ma se $K$ è il campo generato da $K_1$ e $K_2$ e un automorfismo di $K$ fissa $K_1$ e $K_2$ allora ovviamente è l'identità. Se fissa i generatori fissa tutto.
Vuoi dimostrare una cosa tipo $G=AB$ e $A nn B=1$. Hai mostrato che $A nn B=1$. L'ipotesi $K_1 nn K_2=F$ la usi per mostrare che $AB=G$.
"Martino":
Vuoi dimostrare una cosa tipo $G=AB$ e $A nn B=1$. Hai mostrato che $A nn B=1$. L'ipotesi $K_1 nn K_2=F$ la usi per mostrare che $AB=G$.
Quindi $K_1\cap\K_2=F$ non interviene per dimostrare che $A\cap B=1$?
Questo è quello che mi aspetterei.
No perché la corrispondenza di Galois è controvariante, inverte le inclusioni.
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