Gruppi di Galois

[dan952]

Esercizio. Determinare il gruppo di Galois del polinomio $$f(x)=(x^4-5x^2+6)(x^2+2x-1)(x^2-2x+2)$$
su $F=QQ(\sqrt{2})[x]$.

Le radici di $f$ che non stanno in $F$ sono: $\pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{6}, 1\pm i$, quindi il campo di spezzamento di $f$ è $K=QQ(\sqrt{2},i,\sqrt{3},\sqrt{5})$, per determinare $Gal(K,F)$ basta vedere come si comportano gli automorfismi sugli elementi $\sqrt{3}, i, \sqrt{5}$, ogni automorfismo deve scambiare ognuno di questi elementi con il suo opposto o fissarlo, così facendo si contano 8 automorfismi che è possibile mettere in corrispondenza biunivoca con un sottogruppo di $S_6$:
$\sigma_1=Id$
$\sigma_2 \leftrightarrow (1\ 2)$
$\sigma_3 \leftrightarrow (3\ 4)$
$\sigma_4 \leftrightarrow (5\ 6)$
$\sigma_5 \leftrightarrow (1\ 2)(3\ 4)$
$\sigma_6 \leftrightarrow (1\ 2)(5\ 6)$
$\sigma_7 \leftrightarrow (3\ 4)(5\ 6)$
$\sigma_8 \leftrightarrow (1\ 2)(3\ 4)(5\ 6)$
Dove 1 sta per l'elemento $\sqrt{3}$, 2 per il suo opposto, 3 per $\sqrt{5}$, 4 per l'opposto, ecc...
Secondo il teorema delle corrispondenze di Galois, ad ogni sottocampo corrisponde un sottogruppo di $Gal(K,F)$ (e viceversa), ho contato 8 sottogruppi di ordine 4 e 3 ciclici di ordine 2.

[Studente Anonimo]

Scusa, a me pare che le radici di $f(x)$ siano $\pm sqrt{3}$, $\pm sqrt{2}$, $1 \pm i$ e $-1 \pm sqrt{2}$, confermi? Non vedo dove trovi il $sqrt{5}$. Se ho ragione risulta che $G \cong C_2 \times C_2$ (generato dagli scambi di $i$ con $-i$ e di $sqrt{3}$ con $-sqrt{3}$).

[dan952]

Hai ragione, non avevo più ricontrollato i calcoli. Grazie mille!