Gruppi di automorfismi isomorfi
Come faccio a dimostrare che gruppi isomorfi hanno gruppi di automorfismi isomorfi?
Risposte
Pensa a cosa può voler dire una cosa come
\[ \begin{CD}
G @>\phi >> H @>j>> H @> \phi^-1 >>G \\
\end{CD} \]
Se $j$ è un automorfismo di $H$ e $\phi$ è un isomorfismo tra $G$ e $H$, questo $ ( \phi^-1 \circ j \circ \phi )$ è un automorfismo di $G$ , sei d'accordo?
Ora, cosa succede agli isomorfismi di $\text{Aut}_{\text{Grp}} (G)$ quando componiamo gli automorfismi di $\text{Aut}_{\text{Grp}} (H)$?
\[ \begin{CD}
G @>\phi >> H @>j>> H @> \phi^-1 >>G \\
\end{CD} \]
Se $j$ è un automorfismo di $H$ e $\phi$ è un isomorfismo tra $G$ e $H$, questo $ ( \phi^-1 \circ j \circ \phi )$ è un automorfismo di $G$ , sei d'accordo?
Ora, cosa succede agli isomorfismi di $\text{Aut}_{\text{Grp}} (G)$ quando componiamo gli automorfismi di $\text{Aut}_{\text{Grp}} (H)$?
Si anche io avevo pensato a comporre gli isomorfismi, però proprio l'ultimo punto mi manca, Come posso mettere in relazione i due automorfi?
Grazie
Grazie
Scriviamo $i \circ j$ con $i,j$ automorfismi di $H$. I "corrispondenti" (in che senso lo vedremo tra poco) automorfismi di $G$ sono $\phi^-1 \circ i \circ \phi$ e $\phi^-1 \circ j \circ \phi$.
Componendoli abbiamo $\phi^-1 \circ i \circ \phi \circ \phi^-1 \circ j \circ \phi = \phi^-1 \circ i \circ (\phi \circ \phi^-1) \circ j \circ \phi $ per proprietà associativa, che è uguale a $\phi^-1 \circ i \circ j \circ \phi $. Ma allora questa funzione, chiamiamola $\tau$, che associa a un automorfismo di $H$ un automorfismo di $G$ nel modo sopra scritto ($\tau(x)=\phi^-1 \circ x \circ \phi$) conserva l'operazione. Lo possiamo scrivere per ogni $x \in H$, ed è ovviamente bigettivo (come mai? esercizio).
Questo $\tau$ allora è un isomorfismo di gruppi.
Componendoli abbiamo $\phi^-1 \circ i \circ \phi \circ \phi^-1 \circ j \circ \phi = \phi^-1 \circ i \circ (\phi \circ \phi^-1) \circ j \circ \phi $ per proprietà associativa, che è uguale a $\phi^-1 \circ i \circ j \circ \phi $. Ma allora questa funzione, chiamiamola $\tau$, che associa a un automorfismo di $H$ un automorfismo di $G$ nel modo sopra scritto ($\tau(x)=\phi^-1 \circ x \circ \phi$) conserva l'operazione. Lo possiamo scrivere per ogni $x \in H$, ed è ovviamente bigettivo (come mai? esercizio).
Questo $\tau$ allora è un isomorfismo di gruppi.
Ok grazie è tutto chiaro, ma vale il viceversa?
Decisamente no: ad esempio
\[ \text{Aut}(\mathbb{Z})=\text{Aut}(\mathbb{Z}_3)=\text{Aut}(\mathbb{Z}_4) \] ma $\mathbb{Z}_3$ non è isomorfo né a $\mathbb{Z}$ né a $\mathbb{Z}_4$.
\[ \text{Aut}(\mathbb{Z})=\text{Aut}(\mathbb{Z}_3)=\text{Aut}(\mathbb{Z}_4) \] ma $\mathbb{Z}_3$ non è isomorfo né a $\mathbb{Z}$ né a $\mathbb{Z}_4$.
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