Gruppi di applicazioni lineari

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27 mag 2010, 17:56

Vorrei sapere se le seguenti affermazioni sono corrette:
Siano [tex]E[/tex] un k-spazio vettoriale, [tex]End(E)[/tex] l' insieme degli endomorfismi su E, e [tex]Aut(E)[/tex] gli automorfismi su E.
Allora:

[tex](End(E), +)[/tex] con la somma tra funzioni è un gruppo abeliano.
[tex](End(E), °)[/tex] con la composizione tra funzioni non è un gruppo perchè non tutte le applicazioni possono essere invertibili, ma è un monoide in quando la funzione identità è in esso.
[tex](Aut(E), °)[/tex] è un gruppo in quanto tutti gli automorfismi sono biettivi, quindi ivnertibili.
[tex](End(E),+)[/tex] non è un gruppo perchè la somma di funzioni biettive non è detto che sia biettiva, qundi non è neanche una struttura algebrica chiusa (non è proprio niente)...