Gruppi del prodotto diretto.

[klarence1]

Il prodotto diretto di due gruppi, considerando $Z/(mZ) x Z/(nz)$ , abbiamo dimostrato che è un gruppo ciclico solo se $(m,n)=1$ , però non ho capito bene perchè. Qualcuno sarebbe così gentile da dirmi cosa mi sfugge?

[TomSawyer1]

Ti riferisci ai gruppi additivi, vero? Comunque, se $(m,n)=d>1$, allora chiaramente esistono due sottogruppi ciclici di ordine $d$ di $G=ZZ//(mZZ) \times ZZ//(nZZ)$, e, dato che un gruppo ciclico di ordine $r$ ha al più un sottogruppo ciclico di ordine $d$ (per ogni divisore $d$ di $r$), $G$ non può essere ciclico.

In ogni caso, scommetto che se leggi un paio di volte la dimostrazione che avete fatto, riesci a cogliere meglio questo aspetto.