Gruppi ciclici

[cucci1]

sto preparando l'esame di algebra...ma ho alcuni dubbi:
praticamente io dimostro che un gruppo è abeliano tramite il prodotto interno di due sottogruppi.....ma per dimostrare che è un gruppo ciclico come si fa?
mi potete chiarire la def di gruppo ciclico?
grazie

[vict85]

Mi sfugge il tuo metodo per dimostrare che il gruppo è abeliano. Se i due sottogruppi non sono abeliani allora non lo sarà neanche il loro prodotto diretto interno... Se invece dimostri che il gruppo è prodotto diretto di sottogruppi ciclici allora è abeliano, per il teorema di struttura. D'altra parte spesso è più immediato dimostrare direttamente che due elementi commutano tra di loro, che il commutatore è il sottogruppo banale, che il centro coincide con tutto il gruppo oppure che esiste un gruppo di generatori del gruppo che commuta elemento per elemento.

Una caratteristica di un gruppo ciclico è quello di avere esattamente un sottogruppo (ciclico) per ogni suo divisore. Se esistono due sottogruppi dello stesso ordine allora non è ciclico. Inoltre quella di essere generato da un elemento, quella di esistere un omomorfismo suriettivo da $ZZ$ a $G$ e altre cose simili. Penso ci siano anche alcune questioni legate al gruppo degli omomorfismi ma non ne sono sicuro.

A seconda dei dati che hai decidi che metodo usare. Non esiste una condizione unica per dimostrare queste cose.

[cucci1]

perchè se esitono due sottogruppi dello stesso ordine allora nn è ciclico?

[Gaal Dornick]

"cucci":perchè se esitono due sottogruppi dello stesso ordine allora nn è ciclico?

"vict85":Una caratteristica di un gruppo ciclico è quello di avere esattamente un sottogruppo (ciclico) per ogni suo divisore.

Cioè c'è una bigezione tra i divisori dell'ordine del gruppo (nell'ipotesi che questo sia finito) e i sottogruppi.
Se invece il gruppo (ciclico) è infinito è $ZZ$ (a meno di isomorfismi), e ancora sai che tutti i sottogruppi sono del tipo $$.


Così sul momento, mi viene in mente il teorema: c'è una corrispondenza biunivoca tra gli omomorfismi da un gruppo ciclico $G=$ ad un gruppo $H$, realizzata da
$h$ in $phi_h$ ove $phi$ mappa $g$ in $h$, un qualunque elemento di $H$ tale che il periodo di $h$ divida l'ordine di $G$.

Corollario: quanti sono gli isomorfismi da un gruppo ciclico in se stesso?