Gruppi Ciclici ...
Ciao a tutti è da un pezzo che non posto (forse più di 24 ore) ho deciso quindi di farmi vivo. 
Ho il seguente esercizio. Dire se i seguenti gruppi sono ciclici: $U_15, U_32, U_36$. In caso affermativo determinare il reticolo dei sottogruppi.
Allora prendiamo in esame il primo caso $U_15$. Questo gruppo ha 8 elementi e cioè $U_15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}$ giusto? Ora per definizione un gruppo G è ciclico e $x in G$ è un suo generatore se, e solo se, il sottogruppo generato da x è tutto G, ovvero G=. Ora chiedo: basta avere un solo generatore che generi G per dire che G è ciclico o tutti i generatori di G devono generare G? 
Ho il seguente esercizio. Dire se i seguenti gruppi sono ciclici: $U_15, U_32, U_36$. In caso affermativo determinare il reticolo dei sottogruppi.
Allora prendiamo in esame il primo caso $U_15$. Questo gruppo ha 8 elementi e cioè $U_15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}$ giusto? Ora per definizione un gruppo G è ciclico e $x in G$ è un suo generatore se, e solo se, il sottogruppo generato da x è tutto G, ovvero G=
Risposte
Se non ricordo male, un gruppo ciclico di ordine n ha $phi(n)$ generatori, ma per dire che è ciclico ti basta sapere che c'è un elemento che lo genera
Se li chiami generatori di G, è ovvio che generano G 
. Una volta che ne hai trovato uno, sai che è ciclico, come ha detto fabiola.
. Una volta che ne hai trovato uno, sai che è ciclico, come ha detto fabiola.
Pensa bene alla seguente domanda che hai fatto:
Non ti sembra mal posta, o quantomeno tautologica? Se un elemento genera G allora G è ciclico, ma per definizione ogni generatore di G genera G (essendo un generatore).
Forse volevi sapere se è necessario che ogni elemento di G generi G perché esso sia ciclico?
In tal caso, la risposta è no (vedi ciò che ha detto fabiola).
"Jack Durden":
basta avere un solo generatore che generi G per dire che G è ciclico o tutti i generatori di G devono generare G?
Non ti sembra mal posta, o quantomeno tautologica? Se un elemento genera G allora G è ciclico, ma per definizione ogni generatore di G genera G (essendo un generatore).
Forse volevi sapere se è necessario che ogni elemento di G generi G perché esso sia ciclico?
In tal caso, la risposta è no (vedi ciò che ha detto fabiola).
Grazie per le risposte. Forse la domanda era posta un po a "cavolo" ... ma ci siamo capiti.
io aggiungo anche questo splendido teorema ma non di facile dimostrazione
$U(n)$ è ciclico se e solo se $n=p^m,2p^e$ $p$ primo dispari $e>=1$ oppure $m=1,4$
$U(n)$ è ciclico se e solo se $n=p^m,2p^e$ $p$ primo dispari $e>=1$ oppure $m=1,4$
"miuemia":
io aggiungo anche questo splendido teorema ma non di facile dimostrazione
$U(n)$ è ciclico se e solo se $n=p^m,2p^e$ $p$ primo dispari $e>=1$ oppure $m=1,4$
Io lo portai all'esame di Algebra, seppur solo enunciato
Da qualche parte si trova la dimostrazione in rete?
in rete non so però un buon libro di algebra c'è l'avrà
"miuemia":
io aggiungo anche questo splendido teorema ma non di facile dimostrazione
$U(n)$ è ciclico se e solo se $n=p^m,2p^e$ $p$ primo dispari $e>=1$ oppure $m=1,4$
Gauss?
Troppo forte Gauss.
si proprio lui...
Se ho il gruppo $ZZ_6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ io faccio per esempio:
<2> = {2, 4, 6} cioè mi muovo due a due.
Ma se io ho il gruppo $U_15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}$ come mi muovo? esempio:
<2> = {2, 4, 6 oppure 8, ... ...} nn mi è chiaro come muovermi quando sto in un gruppo di invertibili.
<2> = {2, 4, 6} cioè mi muovo due a due.
Ma se io ho il gruppo $U_15 = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}$ come mi muovo? esempio:
<2> = {2, 4, 6 oppure 8, ... ...} nn mi è chiaro come muovermi quando sto in un gruppo di invertibili.
ti devi muover moltiplicando
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