Gruppi - anelli - moduli: definizioni universali
buonasera a tutti
Ho una domanda riguardante le definizioni universali: per semplicità utilizzo il caso della definizione di gruppo libero
DEF. si dice GRUPPO LIBERO sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, comunque si prenda un gruppo \(\displaystyle G' \) e una funzione \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), esiste un unico omomorfismo di gruppi \(\displaystyle g:G \rightarrow G' \) tale che si abbia \(\displaystyle f'= g \circ f \).
La mia domanda è: se trovo il gruppo \(\displaystyle G \) e la funzione \(\displaystyle f \) tali che \(\displaystyle \forall (G',f') \) definiti come prima, esista l'omomorfismo \(\displaystyle g \) , sono certo che questo è unico o sono costretto ad andare a verificarlo? In altre parole, l'unicità dell'omomorfismo è deducibile dalla sua esistenza?
Credo che Il ragionamento sia del tutto analogo per quanto riguarda altre definizioni universali (prodotti, coprodotti, moduli liberi, etc) in altre categorie (tutte?) sostituendo il concetto di omomorfismo con quello di morfismo. La mia domanda riguarda tutte le definizioni universali, non questa in particolare
So pochino della teoria delle categorie, prego chiunque voglia rispondere di non addentrarsi troppo in questo campo
Grazie a tutti
Ho una domanda riguardante le definizioni universali: per semplicità utilizzo il caso della definizione di gruppo libero
DEF. si dice GRUPPO LIBERO sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, comunque si prenda un gruppo \(\displaystyle G' \) e una funzione \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), esiste un unico omomorfismo di gruppi \(\displaystyle g:G \rightarrow G' \) tale che si abbia \(\displaystyle f'= g \circ f \).
La mia domanda è: se trovo il gruppo \(\displaystyle G \) e la funzione \(\displaystyle f \) tali che \(\displaystyle \forall (G',f') \) definiti come prima, esista l'omomorfismo \(\displaystyle g \) , sono certo che questo è unico o sono costretto ad andare a verificarlo? In altre parole, l'unicità dell'omomorfismo è deducibile dalla sua esistenza?
Credo che Il ragionamento sia del tutto analogo per quanto riguarda altre definizioni universali (prodotti, coprodotti, moduli liberi, etc) in altre categorie (tutte?) sostituendo il concetto di omomorfismo con quello di morfismo. La mia domanda riguarda tutte le definizioni universali, non questa in particolare
So pochino della teoria delle categorie, prego chiunque voglia rispondere di non addentrarsi troppo in questo campo
Grazie a tutti
Risposte
"bestiedda2":
DEF. si dice GRUPPO LIBERO sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, comunque si prenda un gruppo \(\displaystyle G' \) e una funzione \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), esiste un unico omomorfismo di gruppi \(\displaystyle g:G \rightarrow G' \) tale che si abbia \(\displaystyle f'= g \circ f \).
La mia domanda è: se trovo il gruppo \(\displaystyle G \) e la funzione \(\displaystyle f \) tali che \(\displaystyle \forall (G',f') \) definiti come prima, esista l'omomorfismo \(\displaystyle g \) , sono certo che questo è unico o sono costretto ad andare a verificarlo? In altre parole, l'unicità dell'omomorfismo è deducibile dalla sua esistenza?
Dici l'unicità di g? No, non è garantita l'unicità. Visto che non sei affezionato ai gruppi (come dici da qualche altra parte) ti faccio un controesempio nel caso dei gruppi abeliani, che è un po' più semplice (concettualmente è lo stesso). Prendi [tex]S = \{*\}[/tex] (insieme con un solo elemento). Prendi [tex]G = \mathbb Z \oplus \mathbb Z = \mathbb Z^2[/tex] e come mappa [tex]f \colon S \to G[/tex] quella definita da [tex]f(*) = (1,0)[/tex]. Se [tex]A[/tex] è un altro gruppo abeliano e [tex]f' \colon S \to A[/tex] è la mappa definita da [tex]f(*) = a \in A[/tex] allora è chiaro che questa mappa fattorizza tramite [tex]f[/tex] mediante [tex]g \colon G \to A[/tex], [tex]g(n,m) = na[/tex]. Tuttavia, per ogni scelta di [tex]b \in A[/tex], anche [tex]g' \colon G \to A[/tex], [tex]g'(m,n) = na + mb[/tex] soddisfa [tex]g' \circ f = f'[/tex] e quindi vedi che l'unicità non è garantita.
"bestiedda2":
So pochino della teoria delle categorie, prego chiunque voglia rispondere di non addentrarsi troppo in questo campo
Perché mi sento tirato in causa?
Comunque qui parlo di universalità in modo piuttosto prolisso!
Grazie mille, per la risposta e per il link
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo