Gruppi abeliani finitamente generati

[Lorin1]

Devo dimostrare la seguente proposizione:

Ogni gruppo abeliano finitamente generato privo di torsione è ordinabile

Idea: Dal teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati so che:

$G = ZZ^(r) o+ ZZ_(q_1) o+ \ldots o+ ZZ_(q_k) $

ora vorrei sfruttare il fatto che un gruppo ordinato non può avere elementi di ordine finito eccetto l'identità. Se mi concentro sulle copie di $ZZ^(r)$ sto a posto perchè alla fine sono tante copie di $ZZ$ che è privo di torsione, per gli altri sottogruppi ciclici finiti posso fare un ragionamento analogo?

sono un attimo confuso...

[Pappappero1]

Cos'è un gruppo ordinabile?

Comunque un gruppo abeliano finitamente generato privo di torsione ha solo la parte libera. Quindi hai $G = \ZZ^r$. Proprio perché è privo di torsione, la parte finita è nulla.