Gruppi abeliani e sottogruppi normali

[flosfloris]

ragazzi sapete dirmi perchè un gruppo di ordine 4 è sempre abeliano????
il mio libro lo da per scontato ma io non ho capito perchè...

e inoltre se ho un gruppo g e un suo sottogruppo h e l'indice di h in g |G:H| è uguale a 2 allora h è un sottogruppo normale in g????????????????perchè????

[Lorenzo Pantieri]

"flosfloris":ragazzi sapete dirmi perchè un gruppo di ordine 4 è sempre abeliano????

Perché è isomorfo a $Z_4$ o a $Z_2\times Z_2$.

"flosfloris":e inoltre se ho un gruppo g e un suo sottogruppo h e l'indice di h in g |G:H| è uguale a 2 allora h è un sottogruppo normale in g?perchè?

In quel caso si verifica che i due laterali destri sono uguali ai due laterali sinistri.

Per i dettagli: un buon libro di albegra.

Ciao,
L.

[Chevtchenko]

Una dimostrazione piu' diretta del primo punto: Sia $G$ un gruppo di ordine 4, e sia $u$ un elemento di $G$ con $u \ne 1$. Allora $u$ ha ordine 4 o 2. Se $u$ ha ordine $4$, $\langle u \rangle = G$ e $G$ e' ciclico, quindi abeliano. Se invece $u$ ha ordine 2, esiste $v \in G - \langle u \rangle$, e $v$ ha ordine 2. Pertanto i sottogruppi $\langle u \rangle$ e $\langle v \rangle$ hanno indice 2 in $G$, quindi sono normali; inoltre chiaramente $\langle u \rangle \cap \langle v \rangle = 1$. Ne segue $G = \langle u \rangle \times \langle v \rangle$. In particolare $u$ e $v$ commutano e $G$ e' abeliano.

[fields1]

Per il primo punto: ogni gruppo di ordine $p^2$, con $p$ primo, e' abeliano.

[Chevtchenko]

"fields":Per il primo punto: ogni gruppo di ordine $p^2$, con $p$ primo, e' abeliano.

Dimostriamolo pure: Sia allora $G$ un gruppo di ordine $p^2$, e sia $\zeta G$ il suo centro. Siccome $G$ e' un $p$-gruppo finito e $G \ne 1$, deve essere $\zeta G \ne 1$, per cui $\zeta G$ ha ordine $p$ o $p^2$. Nel secondo caso si ha $\zeta G = G$, e $G$ e' banalmente abeliano. Se invece $\zeta G$ ha ordine $p$, il quoziente $G / {\zeta G}$ ha ordine $p$ e quindi e' ciclico. Pertanto $G$ e' abeliano.

Purtroppo da $p^3$ in poi il teorema non vale.
Come interessante esercizio, per chi vuole, elencare tutti i gruppi di ordine 8 (a meno di isomorfismi, s'intende!).