Gruppi abeliani e gruppi ciclici
Ciao, sono alle prese con alcuni esercizi e avrei bisogno di una mano....
Esercizio: sia G gruppo delle matrici 2x2 invertibili a coefficienti in R (con l'ordinario prodotto righe per colonne), e
$ H={(( a , b ),( 0, c ) ) : a ,b,cin R, ac!= 0} $
A) provare che H é un sottogruppo non normale di G
B) posto $N={(( 1 , b ),( 0, 1 ) ) : bin R}. $ si mostri che N é un sottogruppo normale in H. Si dermini poi se H/N é abeliano e se é ciclico, costruendo un opportuno omomorfismo di H in R^x xR^x ( dove R^x indica il gruppo moltiplicativo dei reali non nulli).
Il punto A
Ho dimostrato che H é sottogruppo di G con il criterio: $ H<= G \ sse \ AA h,k in H ,hk^(-1) inH $
E che non é normale usando il criterio H normale in G sse $AA h in H , AA g in G \ si \ ha \ g^(-1)hg in H $
Allo stesso modo ho affrontato la prima parte del punto B però non so come andare avanti...qualcuno può aiutarmi?
Grazie!
Ciao ciao Sofia
Esercizio: sia G gruppo delle matrici 2x2 invertibili a coefficienti in R (con l'ordinario prodotto righe per colonne), e
$ H={(( a , b ),( 0, c ) ) : a ,b,cin R, ac!= 0} $
A) provare che H é un sottogruppo non normale di G
B) posto $N={(( 1 , b ),( 0, 1 ) ) : bin R}. $ si mostri che N é un sottogruppo normale in H. Si dermini poi se H/N é abeliano e se é ciclico, costruendo un opportuno omomorfismo di H in R^x xR^x ( dove R^x indica il gruppo moltiplicativo dei reali non nulli).
Il punto A
Ho dimostrato che H é sottogruppo di G con il criterio: $ H<= G \ sse \ AA h,k in H ,hk^(-1) inH $
E che non é normale usando il criterio H normale in G sse $AA h in H , AA g in G \ si \ ha \ g^(-1)hg in H $
Allo stesso modo ho affrontato la prima parte del punto B però non so come andare avanti...qualcuno può aiutarmi?
Grazie!
Ciao ciao Sofia
Risposte
Costruisci un omomorfismo come suggerito mandando una matrice generica di H nella coppia (a,c) e usa il teorema di isomorfismo.
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