Gruppi abeliani

[pagliagiorgia]

Ciao a tutti! Ho questo dubbio da esporvi: in base a cosa posso affermare con sicurezza che ogni gruppo di ordine 4 è abeliano? Io ho pensato al fatto che sia isomorfo al gruppo di Klein che sappiamo essere abeliano ma anche al fatto che è un gruppo ciclico e dunque è abeliano... Grazie!

[drughe]

se è isomorfo al gruppo di klein non è ciclico e viceversa, infatti nella classificazione un gruppo di ordine 4 può essere isomorfo al gruppo di Klein oppure a $ZZ_4$. In generale si dimostra che un gruppo di cardinalità $p^2$ con p primo è abeliano.

[pagliagiorgia]

ok, ma non avendo mai visto a lezione l'ultimo risultato da te citato, come posso arrivare lo steso ad affermare che un gruppo di ordine 4 è sempre abeliano? ho capito che può essere isomorfo al gruppo di Klein o a $ZZ_4$, ma nn capisco come fare quel passo in più per arrivare alla conclusione.

[Studente Anonimo]

Prendi un gruppo di ordine 4. Se è ciclico è abeliano e siamo a posto, quindi supponiamo che non sia ciclico, cioè che non ci siano elementi di ordine 4. Allora ogni elemento non banale ha ordine 2. Tra i quattro elementi ci dev'essere l'elemento neutro 1. Scriviamo [tex]G=\{1,a,b,c\}[/tex], con [tex]a \neq b \neq c \neq a[/tex]. Allora [tex]ab[/tex] dev'essere uguale a [tex]c[/tex], infatti non può essere [tex]ab=1[/tex] (altrimenti ricordando che [tex]a^2=b^2=1[/tex] moltiplicando a sinistra per [tex]a[/tex] otterremmo [tex]a=b[/tex]) né [tex]ab=a[/tex] né [tex]ab=b[/tex] essendo [tex]a \neq b[/tex]. Quindi [tex]G=\{1,a,b,ab\}[/tex]. Ora ovviamente 1 commuta con tutto. Inoltre [tex]ab=ba[/tex], infatti [tex]ba \not \in \{1,a,b\}[/tex] per le ragioni esposte sopra. Inoltre [tex]a(ab)=a(ba)=(ab)a[/tex] e [tex]b(ab)=b(ba)=a=ab^2=(ab)b[/tex].

[drughe]

facendo un ragionamento sul caso particolare con ordine 4 potresti pensare che tutti gli elementi possono avere periodo fra i divisori di 4, cioè 1,2,4(dal th di lagrange). L'unico elemento ad avere periodo 1 è l'elemento neutro del gruppo, gli altri tre elementi dovranno avere periodo 2 o 4. Se c è un elemento di periodo 4 allora il gruppo è ciclico e quindi abeliano e puoi creare l'isomorfismo con $ZZ_4$, altrimenti se gli elementi non neutri hanno periodo 2 puoi creare un isomorfismo con $ZZ_2\times ZZ_2$ cioè il gruppo di Klein, e quindi anche in questo caso è abeliano.

[pagliagiorgia]

scusa Martino ho capito la dimostrazione che hai fatto ma non ho capito cosa mi suggerisce...

[Studente Anonimo]

Ti ho dimostrato che ogni gruppo di ordine 4 è abeliano. Non è di questo che stiamo parlando?

[pagliagiorgia]

allora non l'ho ben capita... me la puoi spiegare?

[Studente Anonimo]

Non credo che spiegandotela userei parole più semplici di quelle che ho usato prova a rileggerla.

[pagliagiorgia]

ok grazie a tutti!