Grosso problema su calcolo combinatorio
salve a tutti...ho dei grossi problemi relativi a permutazioni, combinazioni e disposizioni...mi si intrecciano tutte e nn capisco quando usarli...mi potete aiutare?avete qualche consiglio da darmi su come distinguerli?sul mio libro di testo ho degli esercizi ma senza risultato quindi nn so neanche se li svolgo bene o meno...
Risposte
Considera un insieme con #n elementi, numerali da 1 a n. X={1,...,n}
Le permutazioni sono funzioni f: X---->X che scambiano l'ordine dei tuoi elementi, magari ne muovono alcuni e ne fissano altri
Partendo da 1 2 3 4 5 6 ...n potresti arrivare, ad esempio, ad avere 2 1 3 5 4 6 ...n (qui ho usato scambi tra 1,2 e tra 3,4)
Le possibili permutazioni su #n elementi sono in totale n! e formano un gruppo, cioè per ogni movimento che compi ne esiste un altro che ti permette di tornare indietro.
Le combinazioni di #k elementi sul tuo insieme X sono tutti i possibili sottoinsiemi di X formati da k elementi.
In questo caso non importa l'ordine con cui scegli i tuoi elementi, cioè il sottoinsieme A={1,2,3,5,7} è lo stesso del sottoinsieme B={7,3,2,5,1}.
Questo modello viene applicato ad esempio nei giochi del lotto, quando scommetti su una combinazione di numeri a pescindere dall'ordine con cui vengono estratti.
Le possibili combinazioni di #k elementi su un insieme di cardinalità n sono in numero di (n k) = n! / k!(n-k)! coefficiente binomiale (scusa ma mi sono appena iscritta, non so scrivere la parentesi in verticale xD)
Da notare che le combinazioni di #k elementi sono esattamente tante quante le loro complementari di #(n-k) elementi
Le disposizioni di #k elementi sono, invece, sottoinsiemi di X di cardinalità k, ma questa volta viene considerato anche l'ordine con cui si elencano gli elementi, quindi in questo caso i sottoinsiemi A e B risultano essere distinti.
Bisogna distinguere: se ogni volta che "peschi" un elemento dall'insieme X poi lo reinserisci nello stesso (e quindi potrai ripescarlo in futuro) le possibili disposizioni sono in numero di n^k
Viceversa, se una volta estratto un elemento lo consideri "cancellato" dal tuo insieme X, le possibili disposizioni sono solo n!/(n-k)!
Questi modelli vengono usati nei problemi di tipo "pesco calzini da un cassetto al buio che ne contiene 5 bianchi e 2 neri", ovviamente devi sapere se una volta estratto un calzino lo reinserisci oppure no.
(esempio: cassetto con 7=5+2 calze, ne pesco 3 senza reimmissione, che probabilità ho di averne uno nero?
devo valutare le possibili disposizioni di 1 calzino nero sui 2 esistenti = 2!/1!=2
le possibili disposizioni di 2 calzini bianchi sui 5 esistenti = 5!/(5-2)! = 20
e farne il rapporto rispetto a tutte le possibili disposizioni di 3 calzini sui 7 esistenti = 7!/(7-3)! = 210
Trovi la probabilità P =2x20/210 = 40/210 = 0,19)
Spero di esserti stata utile!
Le permutazioni sono funzioni f: X---->X che scambiano l'ordine dei tuoi elementi, magari ne muovono alcuni e ne fissano altri
Partendo da 1 2 3 4 5 6 ...n potresti arrivare, ad esempio, ad avere 2 1 3 5 4 6 ...n (qui ho usato scambi tra 1,2 e tra 3,4)
Le possibili permutazioni su #n elementi sono in totale n! e formano un gruppo, cioè per ogni movimento che compi ne esiste un altro che ti permette di tornare indietro.
Le combinazioni di #k elementi sul tuo insieme X sono tutti i possibili sottoinsiemi di X formati da k elementi.
In questo caso non importa l'ordine con cui scegli i tuoi elementi, cioè il sottoinsieme A={1,2,3,5,7} è lo stesso del sottoinsieme B={7,3,2,5,1}.
Questo modello viene applicato ad esempio nei giochi del lotto, quando scommetti su una combinazione di numeri a pescindere dall'ordine con cui vengono estratti.
Le possibili combinazioni di #k elementi su un insieme di cardinalità n sono in numero di (n k) = n! / k!(n-k)! coefficiente binomiale (scusa ma mi sono appena iscritta, non so scrivere la parentesi in verticale xD)
Da notare che le combinazioni di #k elementi sono esattamente tante quante le loro complementari di #(n-k) elementi
Le disposizioni di #k elementi sono, invece, sottoinsiemi di X di cardinalità k, ma questa volta viene considerato anche l'ordine con cui si elencano gli elementi, quindi in questo caso i sottoinsiemi A e B risultano essere distinti.
Bisogna distinguere: se ogni volta che "peschi" un elemento dall'insieme X poi lo reinserisci nello stesso (e quindi potrai ripescarlo in futuro) le possibili disposizioni sono in numero di n^k
Viceversa, se una volta estratto un elemento lo consideri "cancellato" dal tuo insieme X, le possibili disposizioni sono solo n!/(n-k)!
Questi modelli vengono usati nei problemi di tipo "pesco calzini da un cassetto al buio che ne contiene 5 bianchi e 2 neri", ovviamente devi sapere se una volta estratto un calzino lo reinserisci oppure no.
(esempio: cassetto con 7=5+2 calze, ne pesco 3 senza reimmissione, che probabilità ho di averne uno nero?
devo valutare le possibili disposizioni di 1 calzino nero sui 2 esistenti = 2!/1!=2
le possibili disposizioni di 2 calzini bianchi sui 5 esistenti = 5!/(5-2)! = 20
e farne il rapporto rispetto a tutte le possibili disposizioni di 3 calzini sui 7 esistenti = 7!/(7-3)! = 210
Trovi la probabilità P =2x20/210 = 40/210 = 0,19)
Spero di esserti stata utile!
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