Grafico di una funzione inversa.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Stavo risolvendo questo eserczio, il quale lo risolvo con voi, ditemi se sono presenti errori.

Sia $f:RR to RR$ definita ponendo:

$f(x)=x^2 \ "se " \ x ge 0$

$f(x)=x(3-x) \ "se " \ x < 0$

devo verificare che è biettiva e determinare l'inversa.

Preocedo cosi

Iniettività
1) $x_1 , x_2 ge 0$ tali che $f(x_1)=f(x_2)$ allora

$x_1^2=x_2^2$ se e solo se $x_1=x_2$

con $x_1, x_2 in RR $

2) $x_1 , x_2 < 0 $ tali che $f(x_1) ne f(x_2)$ allora

$(x_1-x_2)(x_1+x_2-3) ne 0 $ se e solo se $x_1 -x_2 ne 0 \vee x_1+x_2-3 ne 0$

quindi
$x_1-x_2 ne 0 $ se e solo se $ x_1 ne x_2 $
$x_1+x_2 ne 3, forall x in RR \ :\ x < 0 $
con $x_1, x_2 in RR $

3) $x_ 1 ge 0$ e $x_2<0 $ tali che $f(x_1) ne f(x_2) $ ovvia.

Quindi la funzione è iniettiva.

Suriettività
La funzione è suriettiva essendo che $forall y in RR\ ,\ exists x in RR \:\ y=f(x)$
Se $y=x^2$ per ogni $x ge 0$
invece
$y=x(3-x)$ per ogni $x<0$
in entrambi i casi c'è l'esistenza della $x$.

Pertanto $f$ è biettiva, quindi esistera la sua inversa $g$ definita da $RR$ in $RR$ la quale associa ad ogni elemento $y in RR$ l'unico elemento $x in RR$ tale $y=f(x)$, occore procedere nella seguente maniera
a) sostituisco nell'equazione $y=f(x)$ il valore della $y$ con il valore della $x$ e vicecersa, ottenendo $x=f(y)$
b) si esplicita $y$ in $x=f(y)$.

quindi

$x ge 0 to y=x^2$ allora $x=y^2 to y=pm sqrt(x)$
$y=-sqrt(x)$ va scartata essendo che $y ge 0$
$x<0 to y=x(3-x)$ allora (completamento del quadrato) $y=1/2(3+sqrt(9-4x))$

in definitiva ottengo esplicitamente l'inversa $g$ di $f$, cioè

$g : RR to RR $ definita

$y= sqrt(x) \ "se"\ x ge 0 $

$y=1/2(3+sqrt(9-4x)) \ "se"\ x<0 $

Vi chiedo se i passaggi sono formalmente corretti, inoltre, un punto appartente al grafico di una funzione invertibile non implica l'appartenenza al grafico della sua inversa ?

[marco.ruggiero]

Premesso che la funzione $f:R->R$ è definita ponendo:

$f(x)= { ( x^2 if x>=0),( x(3-x)if x<0):} $ ,

come ti ho già ribadito in un altro mio intervento, per dimostrare la biettività di una funzione il cui dominio e codominio sono insiemi numerici, conviene risolvere l'equazione

$f(x)=y$

nell'incognita $x in RR$ e nel parametro $y in RR$. Quindi:

$f(x)=y<=> { ( x^2=y ),( x>=0 ):} or {(x(3-x)=y),(x<0):}<=>{(x=sqrt(y)),(y>=0):}or {(x^2-3x+y=0),(x<0):} <=>{(x=sqrt(y)),(y>=0):} or {(x=(3+-sqrt(9-4y))/2),(9-4y>=0),(3+sqrt(9-4y)<0),(3-sqrt(9-4y)<0):} <=> {(x=sqrt(y)),(y>=0):} or {(x=(3-sqrt(9-4y))/2),(y<=9/4),(y<0):} <=> {(x=sqrt(y)),(y>=0):}$
or ${(x=(3-sqrt(9-4y))/2),(y<0):} $

Quindi $f$ è biettiva (per ogni $y in RR$ l'equazione $f(x)=y$ ammette una ed una sola soluzione ), e la sua inversa $f^-1:RR->RR$ è definita ponendo:

$f^-1(x)={(sqrt(x) if x>=0),((3-sqrt(9-4x))/2 if x<0):}$

[Pasquale 90]

la domanda è un'altra, i passaggi sono formalmente corretti ?

[@melia]

Ma la risposta almeno all’inizio è assolutamente in tema: hai scritto il testo sbagliato. Quella che hai scritto all’inizio non è biettiva.

[marco.ruggiero]

"Pasquale 90":2) x1,x2<0 tali che f(x1)≠f(x2) allora
(x1−x2)(x1+x2−3)≠0 se e solo se x1−x2≠0∨x1+x2−3≠0

Qui dovevi supporre che fosse $f(x_1)=f(x_2)$ da cui si ricava, sviluppando i calcoli, $(x_2-x_1)(x_1+x_2-3)=0<=>x_1=x_2 o x_1+x_2=3$. Essendo $x_1,x_2<0$, non può essere $x_1+x_2=3>0$, per cui dev'essere neccessariamente $x_1=x_2$.

Per quanto riguarda la suriettività, non l'hai affatto dimostrata. Per dimostrarla, devi necessariamente risolvere l'equazione $f(x)=y$ e dimostrare che ammette almeno una soluzione per ogni $y in RR$. Per tale motivo, tanto vale utilizzare questo metodo anche per provare l'iniettività, che si deduce osservando che la soluzione, oltre ad esistere, è unica.

[gugo82]

Scusa Pasquale 90, ma perché non disegnare il grafico di $f$ e vedere (prima di fare i conti) se la tua funzione è invertibile?

Il caso in esame è assolutamente elementare, roba da scuole superiori: infatti il grafico di $f$ è formato da due rami di parabola:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke = "red";
plot("x^2",0,5);
plot("x*(3-x)",-5,0);
dot([0,0]);[/asvg]
Di qui si vede che la $f$ è strettamente monotona, continua e non limitata né inferiormente né superiormente, dunque (Analisi I) è biiettiva.

Una volta “visto” che $f$ è effettivamente biiettiva, puoi metterti a fare i conti in maniera formale, verificando una delle qualsiasi forme in cui vuoi mettere iniettività e suriettività.

Analogamente, il grafico di $f^(-1)$ si ottiene simmetrizzando quello di $f$ rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi è:
[asvg]xmin=-4; xmax=4; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
stroke="gray";
line([-5,-5],[5,5]);
stroke="red";
plot("x^2",0,5);
plot("x*(3-x)",-5,0);
strokewidth=2;
stroke = "dodgerblue";
plot("sqrt(x)",0,5);
plot("(3 - sqrt(9 - 4*x))/2",-5,0);
dot([0,0]);[/asvg]
e l’espressione analitica si trova risolvendo $f(x)=y$ per $y>=0$ ed $y<0$ come già consigliato da mario9555.

[Pasquale 90]

Buongiorno, vi ringrazio per le risposte, in particolare @melia si è vero mi sono confuso
Invece mario9555, il metodo che proponi è indubbiamente più conveniente rispetto al metodo che ho proposto io, però purtroppo devo usare il metodo che ha utilizzato la prof. in aula cioè quello che ho proposto io.
Detto questo, mi rimane un solo dubbio che sarà sciocco certamente, però è meglio discuterne.

Ho difficolta a determinare la suriettività nel caso in cui una funzione $f$ sia definita a tratti, quinidi, se ho una funzione definita a tratti ad esempio quella dell'esercizio proposto, per dimostrare che $f$ è suriettiva devo quindi verificare che l'equazione $f(x)=y$ abbia almeno una soluzione $x in RR$ al variare di $y in RR$.

Ora $y$ può assumere due valori $y=x^2 \ "se"\ x ge 0$ oppure $y=x(x-3) \ "se" \ x<0 $ devo verificare che entrambi l'equazioni abbiano soluzioni, quindi "senza fare i conti" ottengo i valori della $x$ in entrambi i casi
1) $y=x^2 \leftrightarrow \ x=sqrt(y)$ con $ y ge 0$
2) $y=x(3-x) \ leftrightarrow \ x=(3-sqrt(9-4y))/2$ con $y<0$

Dalla definizione di suriettività
Sia $f : S to T$

$f$ su $ \ leftrightarrow \ forall y in T \ exists x in S \ : \ y =f(x)$

quindi in entrambi i casi 1) e 2) rispettano le condizioni $x ge 0$ e $x<0$ rispettivamente.