Grado polinomi

[fabiola5]

Qualcuno sa dirmi perchè il polinomio $(X^r-1)/(X-1) in F_p[X]$ si fattorizza in polinomi irriducibili tutti di grado $f$ dove f è l'ordine di $p$ mod $r$?
($p$ primo, $r$ primo, $p$ non congruo $1$ mod $r$).
Grazie mille

[fabiola5]

risposte?
Io ho provato a fare dei ragionamenti, ma mi blocco
so che quel polinomio lo posso scrivere come $1+x+...+x^(r-1)$;
considero $eta_r$ radice r-sima primitiva dell'unità e l'estensione $F_p[eta_e]$.
poi vado un pò oltre ma senza senso

[fabiola5]

so che c'è una dimostrazione di questa cosa su un libro dal titolo "introduction to finite fields and their applications";
qualcuno ha questo libro in modo da postarmela? può darsi ci sia anche su qualche altro libro di algebra perchè è abbastanza generico come quesito...se qualcuno ha notizie,risponda, vi prego

[raff5184]

ciao,
vedo che stai provando a chiederlo in tutti i modi e in diversi topic. Vorrei aiutarti.. Dovrei inviarti un file html, ma tattandosi di p2p penso dobbiamo parlarne in pvt.

Com'è l'autore del libro che hai indicato?

Inoltre se mi dici sotto che voce cercare, l'argomento, inizio a dare uno sguardo, dato che mi sono trovato a scaricare dei di libri di algebra lineare un pò di tempo fa.

[fabiola5]

Grazie grazie grazie
l'autore del libro è LIDL e l'argomento dovrebbe essere campi di spezzamento, ma alcuni libri lo mettono in altre sezioni...dipende dai testi; intanto ti invio l'indirizzo se vuoi mandarmi qualche file: [e-mail]
Grazie ancora, non ce la farei a sopportare un'altra notte insonne con questo tarlo...

[raff5184]

immagino che qui hai già controllato..

http://it.wikipedia.org/wiki/Campo_finito
http://www.galois-schweigen.net/theory/ ... node3.html

[fabiola5]

si, su internet ho girato abbastanza e trovo sempre qualcosa che sembra portarmi a un passo dalla soluzione, ma poi svanisce.
Ora ho pensato questo: il polinomio $(X^r-1)/(X-1)$ si scompone in un prodotto di fattori irriducibili distinti;
il campo di spezzamento di $X^r-1$ su $F_p[X]$ è $K=F_p[zeta_r]$, dove $zeta_r$ è una qualunque radice r-sima primitiva dell'unità.
Sia $i$ il grado di uno di questi fattori irriducibili; allora $|K|=p^i$
$r$ divide $|K^(**)|-1= p^i-1$
quindi $p^i -= 1 mod$ $r$.
Questo l'ho buttato giù, guardando vari pezzi di argomenti, ma non sono sicura di alcune cose che magari saranno anche banali,ma ho una tale confusione in testa che tra un pò mi scoppia:
posso affermare tranquillamente che $r$ divide $ |K^(**)|-1$?
una volta arrivata alla fine chi mi dice che $i$ è proprio il più piccolo che soddisfa quella condizione?
spero risponda qualcuno
grazie

[fabiola5]

Forse ci sono....ricomincio da capo altrimenti mi confondo:
consideriamo il polinomio $X^r-1$ e scomponiamolo nei suoi fattori irriducibili;
il campo di spezzamento di $X^r-1$ su $Fp[X]$ è $K=Fp[zeta_r]$, dove $zeta_r$ è una qualunque radice r-sima primitiva dell'unità.
Sia $i$ il grado di uno di questi fattori irriducibili; allora $|K|=p^i$
$Fp[zeta_r]^(**)$ è ciclico e generato proprio da $zeta_r$ perchè primitiva;
ma l'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo quindi:
$r | |Fp[zeta_r]^(**)|=p^i-1$

segue $ p^i -= 1 mod r$.
Ho convinto qualcuno;
resta da precisare perchè $i$ è il più piccolo

Almeno qualcuno può dare un parere sulla correttezza di quello che ho scritto?
Grazie a tutti