Grado estensioni campi

[tommy1996q]

Avrei una domanda riguardante i gradi delle estensioni di campi. Supponiamo di avere un certo campo $F$ e le estensioni $F(a)$ e $F(b)$, la prima diciamo di grado 4 e la seconda di grado 2. La cosa che vorrei fare è dire che se l'intersezione di $F(a)$ e $F(b)$ è banale, allora l'estensione $F(a,b)$ ha grado il prodotto dei gradi di $F(a)$ e $F(b)$, quindi in questo caso 8. E' vera questa cosa? E se vera, come si potrebbe dimostrare? Grazie dell'aiuto.

P.S. Non so se possa aiutare, ma questo fatto dovrebbe essere vero nel caso in cui una delle due estensioni sia di Galois, nel caso generale non ne sono certo però...

[Shocker1]

Ciao, provo a risponderti

Da $F(a) \nn F(b) = F$ segue che $a \notin F(b)$, sia $p$ il polinomio minimo di $a$ su $F(b)$, allora $\partial p = 2$ perché se fosse di grado 1 allora $a \in F(b)$, assurdo.

[tommy1996q]

Si in questo caso il ragionamento va bene, ma io cercavo qualcosa di generale, i gradi 2 e 4 erano solo un esempio. Se fossero stati invece 4 e 8, chi mi dice che il polinomio minimo di $a$ su $F(b)$ non possa avere grado (per esempio) 2 invece di 4? Come segue dal fatto che $F(a)$ e $F(b)$ hanno intersezione banale?

[tommy1996q]

Ok mi è stato fornito un controesempio: basta estendere Q da una parte con la radice quinta di 2, dall'altra con il prodotto fra la radice quinta di 2 e una radice quinta primitiva dell'unità. Hanno lo stesso grado, ovvero 5, perché radici dello stesso polinomio irriducibile $x^5 -2$, hanno intersezione banale, ma il campo prodotto di queste due estensioni (che è il campo di spezzamento del polinomio) ha grado 20, non 25.