Grado di un'estensione di campi

[dariuz89]

Rieccomi!
Una domandina che probabilmente è banale, perchè probabilmente mi sto affogando in un bicchiere d'acqua.

Dato il polinomio [tex](x^2-6)(x^3-5)\in \mathbb Q[x][/tex], quant'è il grado dell'estensione [tex][\mathbb K:\mathbb Q][/tex], dove [tex]\mathbb K[/tex] è il suo campo di spezzamento?

Le radici del polinomio sono [tex]\pm\sqrt{6}[/tex] e [tex]\sqrt[3]{5}\zeta^k[/tex], [tex]k=0,1,2[/tex], dove [tex]\zeta[/tex] è la radice terza dell'unità. La cosa che non mi torna è questa: [tex]\sqrt{3}[/tex] appartiene al campo [tex]\mathbb Q(\sqrt{6},\sqrt[3]{5})[/tex]? Perchè, se si, allora l'estensione da [tex]\mathbb Q(\sqrt{6},\sqrt[3]{5})[/tex] a [tex]\mathbb K[/tex] ha grado 2 (basta metterci i) ma se così non fosse allora dovrebbe avere grado 3, perchè il suo polinomio minimo è [tex](x^3-1)[/tex].

[rouges1]

Essendo [tex]\zeta^1=-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt 3}{2}[/tex] credo che tu a [tex]\mathbb{Q}(\sqrt 6, \sqrt[3]{5})[/tex] non debba aggiungere [tex]\sqrt{3}[/tex] bensì [tex]i\cdot \sqrt{3}[/tex]
Dovresti quindi avere [tex]\mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5},\zeta)=\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5},i\cdot \sqrt{3})[/tex] dato che chiaramente [tex]\zeta\notin \mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5})[/tex] poichè [tex]i \in \mathbb{Q}(\zeta)[/tex] ma [tex]i \notin \mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5})[/tex].
Se quello che ho scritto è sensato allora avresti :
[tex][\mathbb{K} : \mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5},i\cdot \sqrt{3}) : \mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{6},\sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}(\sqrt{6})] \cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{6}) : \mathbb{Q}][/tex] [tex]=2 \cdot 3 \cdot 2[/tex] (il polinomio minimo di [tex]i \cdot \sqrt{3}[/tex] è [tex]x^2+3[/tex]).
Spero sia giusto. Ciao

[dariuz89]

Ecco, la prima riga mi ha chiarito la questione, ti ringrazio.