Grado dell'estensione di una radice primitiva

[Descartes1]

Salve, ho due domande:

$a)$ E' vero che detta $\zeta\_n$ una radice primitiva dell'unità $[\mathbb{Q}(\zeta\_n) : \mathbb{Q}]=\varphi(n)$ dove $\varphi(n)$ è la funzione di Eulero?
$b)$ Se è vero come si può dimostrare?

[Stefano_921]

Si e' vero.

Per dimostrarlo usi il fatto che il grado dell'estensione e' uguale al grado del polinomio minimo di $ \zeta_n $ su $ \mathbb{Q} $. Poiche' $ \zeta_n $ e' radice del polinomio ciclotomico n-esimo $ \phi_n $ e questo e' irriducibile, allora $ \phi_n $ e' il polinomio minimo di $ \zeta_n $ su $ \mathbb{Q} $, e il grado di $ \phi_n $ e' $ \varphi(n) $.