Gli irrazionali sono scomponibili in fattori primi?
Volevo sottoporvi una cosa che mi frullava per la testa... potrebbe essere un'ovvietà come potrebbe essere una cretinata (e io sarei propenso a tendere verso la seconda ipotesi).
Visto che ogni $n in NN$ è scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $NN$
Visto che ogni $n in QQ$ è scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $ZZ$
Potrebbe mica essere che ogni $n in RR$ sia scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $QQ$? In particolare mi riferisco agli irrazionali ( di cui non trovo nel prontuario delle forumule la sigla per scriverne 'insieme... II non funziona), visto che $sqrt 2$ si può scrivere come $2^(1/2)$ ma non ho idea di come si potrebbe scomporre ad esempio $e$ o $pi$, cosa che mi fa pensare sia solo una sterile sega mentale).
Visto che ogni $n in NN$ è scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $NN$
Visto che ogni $n in QQ$ è scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $ZZ$
Potrebbe mica essere che ogni $n in RR$ sia scrivibile come prodotto di numeri primi con esponente in $QQ$? In particolare mi riferisco agli irrazionali ( di cui non trovo nel prontuario delle forumule la sigla per scriverne 'insieme... II non funziona), visto che $sqrt 2$ si può scrivere come $2^(1/2)$ ma non ho idea di come si potrebbe scomporre ad esempio $e$ o $pi$, cosa che mi fa pensare sia solo una sterile sega mentale).
Risposte
Non penso che sia possibile quello che chiedi. Ad ogni modo gli irrazionali di solito si denotano con $RR \setminus QQ$.
se fosse vero i reali sarebbero numerabili: ci sarebbe una suriezione $NNxxQQ->RR$ data da $(n,q)->n^q$ e sappiamo che non è possibile
[mod="Fioravante Patrone"]Titolo accattivante, ma non in linea con il regolamento 
Cambialo, per cortesia.[/mod]
Cambialo, per cortesia.[/mod]
Titolo editato.
Mmmmh credo proprio abbia ragione Rubik... infatti mi sembrava strano...
Mmmmh credo proprio abbia ragione Rubik... infatti mi sembrava strano...
Ciao.
Un prodotto di potenze di primi a esponente razionale deve ammettere una qualche potenza in $QQ$. Basta prendere come esponente il prodotto dei denominatori.
Quindi ci sono elementi algebrici che non sono fattorizzabili come dici tu, per esempio $1+sqrt(2)$.
L'insieme degli elementi fattorizzabili come dici tu è l'insieme di tutte le possibili radici di tutti i numeri naturali (o interi, se permetti un cambio di segno): ${n^{1/m}\ |\ n,m in NN,\ m ne 0}$.
Un prodotto di potenze di primi a esponente razionale deve ammettere una qualche potenza in $QQ$. Basta prendere come esponente il prodotto dei denominatori.
Quindi ci sono elementi algebrici che non sono fattorizzabili come dici tu, per esempio $1+sqrt(2)$.
L'insieme degli elementi fattorizzabili come dici tu è l'insieme di tutte le possibili radici di tutti i numeri naturali (o interi, se permetti un cambio di segno): ${n^{1/m}\ |\ n,m in NN,\ m ne 0}$.
se vuoi cominciare a "ragionarci", ti conviene distinguere algebrici e trascendenti, e limitarti agli algebrici.
ma non credo che ci sia una risposta, per ora!
ma non credo che ci sia una risposta, per ora!
Sì infatti credo che come dice Rubik non si possa per questioni di cardinalità... Poi sono so se si può trovare qualche maniera strana per esprimere tramite fattori primi numeri come $1+sqrt2$...
"Smt_1033":Grazie mille
Titolo editato.
mmm non so quanto possa entrarci ma lo dico...ho dimostrato l'esistenza e unicità della fattorizzazione al corso di algebra e affinchè esista abbiamo dimostrato che l'anello deve essere noetheriano.Ora...$RR$ è campo quindi ha come ideali solo $(0)$ e $(1)$ quindi non so se si possa creare nemmeno una catena ascendente di ideali...anzi sono abbastanza convinto che non si possa...sarei contento se qualcuno mi dicesse se ho toppato in pieno o detto una cosa quasi sensata 
:lol:
:lol:
"neopeppe89":
mmm non so quanto possa entrarci ma lo dico...ho dimostrato l'esistenza e unicità della fattorizzazione al corso di algebra e affinchè esista abbiamo dimostrato che l'anello deve essere noetheriano.Ora...$RR$ è campo quindi ha come ideali solo $(0)$ e $(1)$ quindi non so se si possa creare nemmeno una catena ascendente di ideali...anzi sono abbastanza convinto che non si possa...sarei contento se qualcuno mi dicesse se ho toppato in pieno o detto una cosa quasi sensata
Un anello noetheriano è un anello i cui ideali sono finitamente generati, gli ideali di $RR$ sono tutti finitamente generati. Si può parlare di catene di ideali solo che queste saranno "banali" tipo $(0)sub(0)sub(0)sub...sub(0)sub(1)sub...$ è evidente che si stabilizzano tutte. In $RR$ tutti gli elementi sono invertibili quindi la condizione di fattorizzazione unica è "vuota" non ci sono elementi non invertibili e diversi dallo zero.
ok grazie mille 
quindi sono banali...però io ricordavo che essendo la catena ascendente si deve avere $I_1 sub I_2 ...$ ma strettamente!!!cmq si la fattorizzazione unica (a meno di invertibili...appunto!!!) è una condizione vuota però io mi chiedevo (sbagliando) se fosse verificata la parte che riguardava l'esistenza della fattorizzazione!grazie
quindi sono banali...però io ricordavo che essendo la catena ascendente si deve avere $I_1 sub I_2 ...$ ma strettamente!!!cmq si la fattorizzazione unica (a meno di invertibili...appunto!!!) è una condizione vuota però io mi chiedevo (sbagliando) se fosse verificata la parte che riguardava l'esistenza della fattorizzazione!grazie
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