Gli ideali di un campo sono banali
Ciao 
sia $(K;+,*)$ un campo (dove $1_Kne0_K)$, allora gli unici ideali del campo sono $K$ e ${0_K}$
(uso le notazioni additiva e moltiplicativa per non appesantire)
chiaramente $K$ e ${0_K}$ sono due ideali bilateri del campo.
mostrerò che se $I$ è un ideale di $K$ e $Ine{0_K}$ allora $I=K$.
$1)$ se $IsubseteqK$ è un ideale(lo chiamo ideale perchè ovviamente è bilatero), allora contiene l'unità di $K$.
di fatto $a*binI,forall(a,b)inItimesK$ e se $Ine{0_K}$ preso un elemento $i inI$ diverso dallo $0_K$ abbiamo che
da questo segue che $a=(1_K,a)inI,foralla inK$
in poche parole fissando l'unità tutti gli elementi di $K$ vengono mandati nell'ideale.
chiaramente questo ci basta per concludere poichè si può avere soltanto: $I={0_k}dotvee(Ine{0_k}=>I=K)$
Era un esercizio presente sul libro.
In realtà non ho nemmeno utilizzato tutte le proprietà di campo, tipo la commutatività.
di fatto in un corpo penso che tutti gli ideali(destri o sinistri) coincidano o con lo zero, o con tutto il corpo in quanto in genere per un elemento diverso dallo zero si ha $i*i^(-1)=i^(-1)*i=1_K$ e quindi l'unità sta in tutti gli ideali che poi di fatto è la proprietà più importante in questa dimostrazione a mio avviso.
Si potrebbe dire quindi che ha senso parlare di ideali solo fino a che l'anello sia meno di un corpo, visto che l'essenza della dimostrazione, almeno in questa, è che $i$ ammetta inverso.
che ne pensate?
sia $(K;+,*)$ un campo (dove $1_Kne0_K)$, allora gli unici ideali del campo sono $K$ e ${0_K}$
(uso le notazioni additiva e moltiplicativa per non appesantire)
chiaramente $K$ e ${0_K}$ sono due ideali bilateri del campo.
mostrerò che se $I$ è un ideale di $K$ e $Ine{0_K}$ allora $I=K$.
$1)$ se $IsubseteqK$ è un ideale(lo chiamo ideale perchè ovviamente è bilatero), allora contiene l'unità di $K$.
di fatto $a*binI,forall(a,b)inItimesK$ e se $Ine{0_K}$ preso un elemento $i inI$ diverso dallo $0_K$ abbiamo che
$1_K=(i*i^(-1)) in I$ di fatto $(i,i^(-1)) inItimesK$
da questo segue che $a=(1_K,a)inI,foralla inK$
in poche parole fissando l'unità tutti gli elementi di $K$ vengono mandati nell'ideale.
chiaramente questo ci basta per concludere poichè si può avere soltanto: $I={0_k}dotvee(Ine{0_k}=>I=K)$
Era un esercizio presente sul libro.
In realtà non ho nemmeno utilizzato tutte le proprietà di campo, tipo la commutatività.
di fatto in un corpo penso che tutti gli ideali(destri o sinistri) coincidano o con lo zero, o con tutto il corpo in quanto in genere per un elemento diverso dallo zero si ha $i*i^(-1)=i^(-1)*i=1_K$ e quindi l'unità sta in tutti gli ideali che poi di fatto è la proprietà più importante in questa dimostrazione a mio avviso.
Si potrebbe dire quindi che ha senso parlare di ideali solo fino a che l'anello sia meno di un corpo, visto che l'essenza della dimostrazione, almeno in questa, è che $i$ ammetta inverso.
che ne pensate?
Risposte
Mostra anche il viceversa ora! Se un anello ha come ideali sono $(0), (1)$ allora è un corpo.
PS: "corpo" è una nomenclatura un po' blasé; forse è meglio dire "anello con divisione" (division ring) o "campo non commutativo" (noncommutative field).
PS: "corpo" è una nomenclatura un po' blasé; forse è meglio dire "anello con divisione" (division ring) o "campo non commutativo" (noncommutative field).
Definisci $(x)$
‘Anello di divisione’ è potentissimo da dire
‘Anello di divisione’ è potentissimo da dire
$(x)$ è l'ideale generato dall'elemento $x\in R$ in un anello.
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