Giochino di probabilita' discreta
Sono date due urne $U_1 \equiv{15"rosse", 5"blu"}, U_2\equiv {10"rosse", 20"blu"}$
Sfortunatamente le etichette di identificazione delle urne sono sbiadite, e noi vogliamo comunque
identificarle. Per non perdere troppo tempo decidiamo di operare nel seguente modo:
Scegliamo un'urna a caso, ed estraiamo $5$ palline (senza re-inserimento). Se vi sono piu' palline rosse, allora
diciamo che l'urna scelta e' $U_1$, altrimenti diciamo $U_2$.
Qual'e' la probabilita' di sbagliare la valutazione ?
Sfortunatamente le etichette di identificazione delle urne sono sbiadite, e noi vogliamo comunque
identificarle. Per non perdere troppo tempo decidiamo di operare nel seguente modo:
Scegliamo un'urna a caso, ed estraiamo $5$ palline (senza re-inserimento). Se vi sono piu' palline rosse, allora
diciamo che l'urna scelta e' $U_1$, altrimenti diciamo $U_2$.
Qual'e' la probabilita' di sbagliare la valutazione ?
Risposte
Giochino 
....io ci provo ma è una roba un po brutale e bhe tempo un po sbagliata...
Se ho capito bene cerchiamo la probabilità che estratte dall'urna $U_1$ 5 palline almeno tre siano blu più la probabilità che prese 5 pallina da $U_2$ almeno tre siano rosse. Indichiamo con B e R il nummero di blu e rosse estratte e con $p(A=n|U_i)$ la probabilità che avendo scelto l'urna $i$ tra le palline estratte ce ne siano esattamente $n$ del colore A:
$p(B>=3|U_1)=p(U_1)*(1-p(R=5|U_1)-p(B=1|U_1)-p(B=2|U_1))=$
$=1/2* (1 -((15*14*13*12*11)/(20*19*18*17*16)) - ((5!)/(4!))*((15*14*13*12*5)/(20*19*18*17*16) ) -((5!)/(2!*3!))*((15*14*13*5*4)/(20*19*18*17*16)))$.
$p(R>=3|U_2)=P(U_2)*(1-p(B=5|U_2)-p(R=1|U_2)-p(R=2|U_2))=$
$=1/2 *(1-((20*19*18*17*16)/(30*29*28*27*26))- ((5!)/(4!))*((20*19*18*17*10)/(30*29*28*27*26))-((5!)/(2!*3!))*((20*19*18*10*9)/(30*29*28*27*26)))$.
Quindi la p cercata è:
$p=p(B>=3|U_1)+p(R>=3|U_2)$.
Ma siccome i numeri sono grandi e io non ho moltissima fiducia nel procedimento non faccio i conti...
....io ci provo ma è una roba un po brutale e bhe tempo un po sbagliata...Se ho capito bene cerchiamo la probabilità che estratte dall'urna $U_1$ 5 palline almeno tre siano blu più la probabilità che prese 5 pallina da $U_2$ almeno tre siano rosse. Indichiamo con B e R il nummero di blu e rosse estratte e con $p(A=n|U_i)$ la probabilità che avendo scelto l'urna $i$ tra le palline estratte ce ne siano esattamente $n$ del colore A:
$p(B>=3|U_1)=p(U_1)*(1-p(R=5|U_1)-p(B=1|U_1)-p(B=2|U_1))=$
$=1/2* (1 -((15*14*13*12*11)/(20*19*18*17*16)) - ((5!)/(4!))*((15*14*13*12*5)/(20*19*18*17*16) ) -((5!)/(2!*3!))*((15*14*13*5*4)/(20*19*18*17*16)))$.
$p(R>=3|U_2)=P(U_2)*(1-p(B=5|U_2)-p(R=1|U_2)-p(R=2|U_2))=$
$=1/2 *(1-((20*19*18*17*16)/(30*29*28*27*26))- ((5!)/(4!))*((20*19*18*17*10)/(30*29*28*27*26))-((5!)/(2!*3!))*((20*19*18*10*9)/(30*29*28*27*26)))$.
Quindi la p cercata è:
$p=p(B>=3|U_1)+p(R>=3|U_2)$.
Ma siccome i numeri sono grandi e io non ho moltissima fiducia nel procedimento non faccio i conti...
$p=p(B≥3|U1)+p(R≥3|U2). $
Si, questo va bene, ma la parte prima e' un po' pasticciata...
Hint:
Vi informo che non vale la pena di leggere quanto segue....
Allora, il derive (
) mi conferma che il risultato è quello che hai detto tu...a questo punto provo a spiegare cosa ho fatto perchè ho più che altro buttato numeri li nell'altro posto...
Per prima cosa c'è un errore di notazione
dove ho scritto $p(B>=3|U_1)$ e simili si legga $p(B>=3\Lambda U_1)$. Posto questo chiarisco per una delle due probabilità e per l'altra è uguale...
Indicherò con $\sigma_(n,k,h)$ le permutazioni di n elementi tra cui k e h uguali. Inoltre (forzando un po la notazione e creando confusione ) $p(A|A=n;B=m)$ significherà, prob che esca una pallina colore A essendone già uscite n di colore A e m di colore B....
$p(B>=3\Lambda U_1)=p(U_1)*p(B>=3|U_1)=p(U_1)*[1-p(B<3|U_1)]=$
$=p(U_1)*[1-p(R=5|U_1)-p(B=1|U_1)-p(B=2|U_1)]=$
$=p(U_1)*[1-[\sigma_(5,5)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=3;B=0)*p(R|R=4;B=0)]+$
$-[\sigma_(5,4)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=3;B=0)*p(B|R=4;B=0)]+$
$-[\sigma_(5,3,2)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(B|R=3;B=0)*p(B|R=3;B=1)]$.
E andando a sostituire viene la roba che ho messo un paio di post più su....
Sono certo di aver confuso chiunque con questo post..sarebbe bello restare e ricevere le offese che da ciò deriveranno ma vado in vacanza...peccato ...bye bye
p.s. grazie per l'hint ma non ne avevo mai sentito parlare...è un nuovo spunto!!!
Allora, il derive (
) mi conferma che il risultato è quello che hai detto tu...a questo punto provo a spiegare cosa ho fatto perchè ho più che altro buttato numeri li nell'altro posto...Per prima cosa c'è un errore di notazione
dove ho scritto $p(B>=3|U_1)$ e simili si legga $p(B>=3\Lambda U_1)$. Posto questo chiarisco per una delle due probabilità e per l'altra è uguale...Indicherò con $\sigma_(n,k,h)$ le permutazioni di n elementi tra cui k e h uguali. Inoltre (forzando un po la notazione e creando confusione
) $p(A|A=n;B=m)$ significherà, prob che esca una pallina colore A essendone già uscite n di colore A e m di colore B....$p(B>=3\Lambda U_1)=p(U_1)*p(B>=3|U_1)=p(U_1)*[1-p(B<3|U_1)]=$
$=p(U_1)*[1-p(R=5|U_1)-p(B=1|U_1)-p(B=2|U_1)]=$
$=p(U_1)*[1-[\sigma_(5,5)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=3;B=0)*p(R|R=4;B=0)]+$
$-[\sigma_(5,4)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=3;B=0)*p(B|R=4;B=0)]+$
$-[\sigma_(5,3,2)*p(R|R=0;B=0)*p(R|R=1;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(R|R=2;B=0)*p(B|R=3;B=0)*p(B|R=3;B=1)]$.
E andando a sostituire viene la roba che ho messo un paio di post più su....
Sono certo di aver confuso chiunque con questo post..sarebbe bello restare e ricevere le offese che da ciò deriveranno ma vado in vacanza...peccato
...bye byep.s. grazie per l'hint ma non ne avevo mai sentito parlare...è un nuovo spunto!!!
Oddio cosi è un casino assurdo secondo me...
Io ho ragionato in questa maniera..
Dobbiamo intanto capire quali sono le probabilità in gioco e vediamo se il mio ragionamento è corretto o no..
L'evento che dobbiamo studiare è il complementare di quello che scrivo di seguito:
$A = P( U_{1} | "le palline rosse pescate sono più delle blu") $ e non sono certo se generalizzando si può dire che è $ 1 - P(A) $
Andiamo quindi a vedere come possiamo fare a calcolare questo evento..
$ B = P("Palline rosse sono piu delle blu") = P("rosse sono piu delle blu" | U_{1}) * P(U_{1}) + P("rosse sono piu delle blu" | U_{2}) * P(U_{2}) $
Senza scrivere tutti i conti per esempio se vogliamo calcolare $ P("rosse sono piu delle blu" | U_{1}) $ sarà:
$ (((15),(3)) * ((5),(2)) + ((15),(4)) * ((5),(1)) + ((15),(5)) * ((5),(0))) / (((20),(5))) $ e tutte queste sono calcolate sfruttando l'ipergeometrica.
Penso che continuando e sfruttando Bayes si possa calcolare facilmente la probabilità cercata.
Io ho ragionato in questa maniera..
Dobbiamo intanto capire quali sono le probabilità in gioco e vediamo se il mio ragionamento è corretto o no..
L'evento che dobbiamo studiare è il complementare di quello che scrivo di seguito:
$A = P( U_{1} | "le palline rosse pescate sono più delle blu") $ e non sono certo se generalizzando si può dire che è $ 1 - P(A) $
Andiamo quindi a vedere come possiamo fare a calcolare questo evento..
$ B = P("Palline rosse sono piu delle blu") = P("rosse sono piu delle blu" | U_{1}) * P(U_{1}) + P("rosse sono piu delle blu" | U_{2}) * P(U_{2}) $
Senza scrivere tutti i conti per esempio se vogliamo calcolare $ P("rosse sono piu delle blu" | U_{1}) $ sarà:
$ (((15),(3)) * ((5),(2)) + ((15),(4)) * ((5),(1)) + ((15),(5)) * ((5),(0))) / (((20),(5))) $ e tutte queste sono calcolate sfruttando l'ipergeometrica.
Penso che continuando e sfruttando Bayes si possa calcolare facilmente la probabilità cercata.
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