Geometria Algebrica come inquadrare la materia
Vorrei conoscere la geometria algebrica, ho con me il libro di algebra dummit e foote, abstract algebra che devo iniziare a leggere, ma oltre a questo non ho nessun riferimento, non ho idea di quali nozioni ricercare ne tantomeno dove trovarle.
Nella migliore delle ipotesi il libro che possiedo mi impegnerà per qualche mesetto, non ho fretta, ma mi piacerebbe avere un percorso in mente, libri utili, argomenti vari per avere una idea della strada da percorrere.
Penso mi sarà necessario un forum di matematica come questo, se dovessi incastrarmi nella teoria o negli esercizi.
Graie a chi mi vorrà aiutare.
Nella migliore delle ipotesi il libro che possiedo mi impegnerà per qualche mesetto, non ho fretta, ma mi piacerebbe avere un percorso in mente, libri utili, argomenti vari per avere una idea della strada da percorrere.
Penso mi sarà necessario un forum di matematica come questo, se dovessi incastrarmi nella teoria o negli esercizi.
Graie a chi mi vorrà aiutare.
Risposte
Bene, mi ci vorrà molto, anche per poter comprendere le basi indicate in quel link, per lo meno i due libri consigliati si trovano gratuitamente online, già scaricati ma avanzati per me. Primo step le categorie.
Inizio con il dummit foote, poi vedrò come arrivarci alle categorie.
Inizio con il dummit foote, poi vedrò come arrivarci alle categorie.
Inizio con gli Elementi di Euclide, poi vedrò come arrivarci all'algebra lineare.
Non ho capito se fai ironia sul fatto che sto iniziando da zero, o se mi stai consigliando di iniziare da qualcosa di introduttivo sulle categorie. 
La seconda, per carità! Non sprecherei mai della preziosa ironia da scagliare contro gli analisti!
Non sono un analista e nemmeno un matematico, non vorrei aver dato una impressione alterata, conosco le basi della matematica che mi hanno fornito le scuole superiori, le basi di algebra lineare che ho studiato in passato, l'analisi 1 ed un pò di algebra e geometria, tutto a livello elementare, in pratica dovrei pure rinfrescarmi la memoria perchè le informazioni le ho accantonate da tempo non avendole più riprese, sono semplicemente un appassionato della materia, avendo molto tempo libero ho deciso di imbarcarmi in questa impresa, fin che sto sul pezzo e fin che ho la possibilità ci provo, per me è solo un hobby che voglio coltivare. Sotto questa prospettiva probabilmente le cose cambiano, comunque ti ringrazio per il consiglio, sicuramente sul web riusciro' a trovare qualcosa di introduttivo per le categorie.
Sì, ormai non è piu come ai miei tempi, che dovevamo dire messa nelle catacombe e nascondere i nostri gusti sessuali 
adesso si parla di funtori un po' dappertutto,e ci sono un sacco di libri molto elementari e moderni. Ah! Quanto bene sai l'inglese?
adesso si parla di funtori un po' dappertutto,e ci sono un sacco di libri molto elementari e moderni. Ah! Quanto bene sai l'inglese?
Secondo me non ti conviene cominciare dalle categorie. Ti conviene cominciare con cose semplici, tipo una bella panoramica sulla topologia di Zariski (quella classica in cui i chiusi sono luoghi di zeri polinomiali). Geometria algebrica classica per cominciare, quella di Grothendieck per adesso si può lasciare da parte. Credo che troverai molto su internet, ma magari penso a un libro non troppo avanzato che tratti l'argomento.
"Martino":
Secondo me non ti conviene cominciare dalle categorie. Ti conviene cominciare con cose semplici, tipo una bella panoramica sulla topologia di Zariski (quella classica in cui i chiusi sono luoghi di zeri polinomiali). Geometria algebrica classica per cominciare, quella di Grothendieck per adesso si può lasciare da parte. Credo che troverai molto su internet, ma magari penso a un libro non troppo avanzato che tratti l'argomento.
Meno male che c'è ancora qualcuno di buon senso come Martino.
@killing_buddha : la battuta mi ha fatto ridere molto, ma poi il consiglio che dai è altrettanto caricaturale
Grazie Giuseppe in effetti mi sembra che la geometria algebrica bisogna cominciare a studiarla partendo da idee semplici, per esempio a me l'hanno spiegata a partire dagli schemi e in effetti per quanto mi piacesse non mi era facilissimo afferrare tutti i concetti all'inizio. Parlando di referenze, non per pubblicizzare Padova ma questo (di Bottacin) mi sembra ben fatto. Credo che le prime dieci pagine siano relativamente semplici. Mi rivolgo a 010, ovviamente non capirai tutto del testo, ma almeno ti dà un'idea di cosa ti devi andare a vedere (cose basilari di topologia e anelli noetheriani tra le altre cose).
in effetti mi sembra che la geometria algebrica bisogna cominciare a studiarla partendo da idee semplici, per esempio a me l'hanno spiegata a partire dagli schemi e in effetti per quanto mi piacesse non mi era facilissimo afferrare tutti i concetti all'inizio. Parlando di referenze, non per pubblicizzare Padova ma questo (di Bottacin) mi sembra ben fatto. Credo che le prime dieci pagine siano relativamente semplici. Mi rivolgo a 010, ovviamente non capirai tutto del testo, ma almeno ti dà un'idea di cosa ti devi andare a vedere (cose basilari di topologia e anelli noetheriani tra le altre cose).
"dissonance":
[quote="Martino"]Secondo me non ti conviene cominciare dalle categorie. Ti conviene cominciare con cose semplici, tipo una bella panoramica sulla topologia di Zariski (quella classica in cui i chiusi sono luoghi di zeri polinomiali). Geometria algebrica classica per cominciare, quella di Grothendieck per adesso si può lasciare da parte. Credo che troverai molto su internet, ma magari penso a un libro non troppo avanzato che tratti l'argomento.
Meno male che c'è ancora qualcuno di buon senso come Martino.
@killing_buddha : la battuta mi ha fatto ridere molto, ma poi il consiglio che dai è altrettanto caricaturale[/quote]
Dare a una persona che ha le basi di matematica di una scuola superiore il consiglio di studiare gli anelli noetheriani mi sembra caricaturale allo stesso livello
perlomeno, col mio consiglio, l'autore del post imparera' alcune nozioni che esulano dal suo task iniziale, permettendogli anche di circumnavigare un buco di pertinenze.Mi spiego meglio: la vostra risposta si basa sulla opinione che il formalismo categoriale sia piu' difficile per un novizio dell'algebra astratta. Questo non e' necessariamente vero: il linguaggio delle categorie postula l'unitarieta' della matematica, opposta a una pletora di risultati spesso apparentemente sconnessi tra loro a cui manca una visione di insieme (e all'OP manca per forza: e' e sara' un autodidatta). Con alcune basi di matematica e' possibile imparare la teoria delle categorie a un livello sufficiente da fare da bussola nel percorso di apprendimento, che ovviamente poi deve concretizzarsi in pertinenza tecnica, ma che se resta solo pertinenza tecnica sara' sempre privo di una visione di insieme, di un intuito generale atto a capire "di cosa parliamo quando parliamo d'amore", come direbbe Carver.
Con tutto il rispetto Fosco, i tuoi consigli hanno molta probabilità di spaventare l'utente 010, probabilmente se si mette a studiare le categorie lascia perdere dopo tre righe, è molto meglio cominciare da cose "visibili" che diano una motivazione concreta. La topologia di Zariski non è così inarrivabile e sapere cos'è una catena di ideali è molto più ragionevole che mettersi a studiare una cosa completamente astratta tipo le categorie con la promessa di capire forse tra un anno la definizione di schema
"Martino":
Con tutto il rispetto Fosco, i tuoi consigli hanno molta probabilità di spaventare l'utente 010, probabilmente se si mette a studiare le categorie lascia perdere dopo tre righe, è molto meglio cominciare da cose "visibili" che diano una motivazione concreta. La topologia di Zariski non è così inarrivabile e sapere cos'è una catena di ideali è molto più ragionevole che mettersi a studiare una cosa completamente astratta tipo le categorie con la promessa di capire forse tra un anno la definizione di schema
"Visibile", "concreto", "facile" sono categorie (!) di giudizio assai relative. Trovo giusto dare ad OP una visione diversa dal coro, che penso di saper motivare sul piano pedagogico. Soprattutto sono termini relativi perche' sono figli del tempo in cui viviamo. Sebbene questa sia un'opinione, sento il dovere di divulgarla perche' (ovviamente) qui dentro sono l'unico a pensarla in questo modo: la matematica strutturale e' piu' semplice, onesta, e comprensibile ai profani, di quella che fate voi. La ragione per cui _sembra_ astratta ed intoccabile e' che non la sapete raccontare.
Ma questo e' accaduto con tutti i cambi di paradigma, nella frattura tra due generazioni di matematici: questa conversazione stessa e' gia' avvenuta altre volte, solo che invece di "teoria delle categorie" la gente si scagliava contro "algebra lineare", opposta a quei rassicuranti fondamenti costituiti dagli Elementi o dai testi di geometria sintetica su cui anche (ad esempio) Bertrand Russell ha studiato.
Quindi e' il tuo commento che, dato un tempo sufficiente, apparira' caricaturale quanto il mio (come lo e' una riga di Artin, nel libro "Algebra Geometrica", in cui si scaglia contro quel maleficio che e' l'isomorfismo tra applicazioni lineari e spazi vettoriali di matrici, considerandolo la porta verso il peccato del perdere intuizione visiva). Il consiglio di entrambi per 010 e' di partire dalle basi: solo che io sto cercando di far capire che l'idea di "cosa sono le basi" di una disciplina e' cambiata nel tempo, e inevitabilmente sta cambiando di nuovo.
Il problema sta nel fatto che tu ritieni inevitabile la tua visione ma questo lo sapremo solo a posteriori (o meglio, lo saprete ... 
) ... sai quante belle teorie rivoluzionarie sono finite nel dimenticatoio ... 
) ... sai quante belle teorie rivoluzionarie sono finite nel dimenticatoio ...
Intanto vi ringrazio per le risposte, ho seguito la vostra discussione, mi rendo conto che quello che voglio è apprendere una argomento tutt'altro che semplice. Ho letto quelle prime pagine del pdf nel link e come è stato preannunciato il concetto di anello noetheriano per il quale ogni insieme algebrico può sempre essere descritto da un numero finito di equazioni mi è estraneo come anche la topologia di zariski.
Ho inoltre trovato in rete un' introduzione alla teoria delle categorie di Steve Awodey (l'autore l'ho trovato facendo una piccola ricerca su questo forum) ho letto un pò velocemente il primo capitolo, dalla prefazione l'autore dice che ha creato appositamente il suo libro per chi non è ancora ben introdotto alla matematica.
Il mio inglese è pessimo, ma nel comprendere lo scritto, soprattutto nei testi tecnici non ho grosse difficoltà.
Avevo in mente di seguire il consiglio di Martino nel leggere anche senza comprendere bene quel pdf, giusto per avere un idea di come sia strutturata la materia e provare a guardarmi a mano amano gli strumenti per cercare di comprendere la geometria algebrica classica. Ma anche di provare a leggere questa introduzione sulle categorie nella speranza che il concetto di basilare per l'autore lo rimanga per tutto il testo, dato che se non ho capito male alla fine bene o male sono necessarie.
Ho inoltre trovato in rete un' introduzione alla teoria delle categorie di Steve Awodey (l'autore l'ho trovato facendo una piccola ricerca su questo forum) ho letto un pò velocemente il primo capitolo, dalla prefazione l'autore dice che ha creato appositamente il suo libro per chi non è ancora ben introdotto alla matematica.
Il mio inglese è pessimo, ma nel comprendere lo scritto, soprattutto nei testi tecnici non ho grosse difficoltà.
Avevo in mente di seguire il consiglio di Martino nel leggere anche senza comprendere bene quel pdf, giusto per avere un idea di come sia strutturata la materia e provare a guardarmi a mano amano gli strumenti per cercare di comprendere la geometria algebrica classica. Ma anche di provare a leggere questa introduzione sulle categorie nella speranza che il concetto di basilare per l'autore lo rimanga per tutto il testo, dato che se non ho capito male alla fine bene o male sono necessarie.
"010":
Avevo in mente di seguire il consiglio di Martino nel leggere anche senza comprendere bene quel pdf, giusto per avere un idea di come sia strutturata la materia e provare a guardarmi a mano amano gli strumenti per cercare di comprendere la geometria algebrica classica. Ma anche di provare a leggere questa introduzione sulle categorie nella speranza che il concetto di basilare per l'autore lo rimanga per tutto il testo, dato che se non ho capito male alla fine bene o male sono necessarie.
E' la strategia migliore, secondo me. Soprattutto, sentiti libero di chiedere ciò di cui hai bisogno mentre studi (se non altro perché daresti a questo forum qualche thread con problemi di categorie
).
@010 Così, su due piedi: la dispensa di Gathmann (click) e questo libro di Hulek (Elementary algebraic geometry, con l'errata\corrige).
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