Generatori Ker

[nato_pigro1]

Sia $f:ZZxZZ->ZZ_24&
t.c. $f((x,y))=\bar {3x-y}$

determinare un insieme di generatori per $ker(f)$.

io ho trovato ${(8,0),(0,24),(1,3)}$ ma devo dire che l'ho trovato un po' "a braccia", qual è il metodo corretto?

inoltre determinare, se esiste, un sottogruppo $H$ di $ZZxZZ$ tale che $(ZZxZZ)/H$ sia un gruppo di ordine 24 non isomorfo a $ZZ_24$.
E' vero che il quoziente di un gruppo cicliclo (anche se infinito) è cicliclo? in tal caso $H$ non esisterebbe...

[Martino]

"nato_pigro":io ho trovato ${(8,0),(0,24),(1,3)}$ ma devo dire che l'ho trovato un po' "a braccia", qual è il metodo corretto?

Il nucleo consiste delle coppie (x,y) del tipo (x,3x+24k) al variare di x,k in $ZZ$. Un'idea è procedere come quando trovi una base di un sottospazio vettoriale.

inoltre determinare, se esiste, un sottogruppo $H$ di $ZZxZZ$ tale che $(ZZxZZ)/H$ sia un gruppo di ordine 24 non isomorfo a $ZZ_24$.
E' vero che il quoziente di un gruppo cicliclo (anche se infinito) è cicliclo? in tal caso $H$ non esisterebbe...

E' vero che i quozienti dei gruppi ciclici sono ciclici, ma non è questo il caso, dato che $ZZ xx ZZ$ non è ciclico.

[nato_pigro1]

ah, mannaccia, è vero...

Posso ragionare così?
Un sottogruppo di $ZZ$ è del tipo $nZZ$, quindi un sottogruppo di $ZZxZZ$ è del tipo $H=nZZxmZZ$, ma $(ZZxZZ)/(nZZxmZZ) = (ZZ)/(nZZ) x (ZZ)/(mZZ) = (ZZ_n) x (ZZ_m)$ che è ciclico.

[Martino]

"nato_pigro":Un sottogruppo di $ZZ$ è del tipo $nZZ$, quindi un sottogruppo di $ZZxZZ$ è del tipo $H=nZZxmZZ$

No, attenzione, questo è falso. Per esempio [tex]\Delta := \{(x,x)\ |\ x \in \mathbb{Z}\}[/tex] è un sottogruppo di [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] e non è del tipo che hai detto (infatti [tex]\Delta \cong \mathbb{Z}[/tex] e [tex]n \mathbb{Z} \times m \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex]).

$(ZZxZZ)/(nZZxmZZ) = (ZZ)/(nZZ) x (ZZ)/(mZZ) = (ZZ_n) x (ZZ_m)$ che è ciclico.

No, attenzione: $ZZ_n xx ZZ_m$ non è ciclico in generale. Lo è se e solo se $n$ e $m$ sono coprimi.