Generatori e relazioni per GL(F2)
Salve a tutti,
sto cercando di risolvere un esercizio di algebra, e vorrei chiedervi conferma che siano giusti i passaggi che ho fatto, e aiuto su come proseguire
"Sia dato il Gruppo $G = GL_2(F_2)$, con $F_2$ il campo dove vale $1+1=0$. Si risponda alle domande:
1) G è abeliano?
2) Quale è la dimensione di G?
3) Considerato il sottogruppo $<((0,1),(1,1))>$: è un sottogruppo normale?
4) Si trovino generatori e relazioni per G
Mio svolgimento (vi prego di correggermi se qualcosa non è corretto):
1) Affinchè G sia abeliano deve valere, per ogni $a,b in G$:
$ab = ba$
Prendiamo ad esempio: $a=((1,0),(1,1))$ $b=((1,1),(0,1))$ (si può verificare velocemente che hanno determinante diverso da zero).
Calcoliamo: $ab=((1,0),(1,1))((1,1),(0,1))=((1*1+0*0,1*1+0*1),(1*1+1*0,1*1+1*1))=((1,1),(1,0))$; facendo lo stesso per ba si trova $ba=((0,1),(1,1))$.
Quindi no, G non è abeliano.
2) Gli elementi di G sono tutte le matrici 2x2 in $F_2$ con determinante diverso da zero.
Per tentativi sono arrivato alla conclusione che G ha 6 elementi, che sono i seguenti:
$G={((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((0,1),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$
Quindi G ha dimensione 6.
3) Definisco $b=((0,1),(1,1))$. Per determinare la dimensione di B:
$b^2=((0,1),(1,1))((0,1),(1,1))=((1,1),(1,0))$, $b^3=b^2*b=((1,1),(1,0))((0,1),(1,1))=((1,0),(0,1))=e$ ossia l'elemento neutro.
Quindi $:={e,b,b^2}=B$ ha dimensione 3.
Verifico che sia un sottogruppo normale, ossia che per ogni $g in G$ valga $g^{-1}BgsubB$:
dei 6 elementi appartenenti a G, è triviale la verifica per quelli che appartengono anche a B, poichè B è chiuso rispetto al prodotto righe per colonne. Per i restanti 3 elementi di G, ricordando che $g^{-1}eg = e in B$:
Elemento $g_1=((0,1),(1,0))$, vale: $g_1^{-1}Bg_1={e,((0,1),(1,0))b((0,1),(1,0)),((0,1),(1,0))b^2((0,1),(1,0))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Elemento $g_2=((1,0),(1,1))$, vale: $g_2^{-1}Bg_2={e,((1,0),(1,1))b((1,0),(1,1)),((1,0),(1,1))b^2((1,0),(1,1))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Elemento $g_3=((1,1),(0,1))$, vale: $g_3^{-1}Bg_3={e,((1,1),(0,1))b((1,1),(0,1)),((1,1),(0,1))b^2((1,1),(0,1))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Quindi si, B è un sottogruppo normale di G.
4) Qui si tratta di un gruppo ciclico (credo), quindi generabile da un solo elemento. Ma non so come usare questa informazione per arrivare ai generatori e relazioni. I libri che sto utilizzando non mi aiutano a riguardo.
Qualcuno ha idea di come si potrebbe procedere?
sto cercando di risolvere un esercizio di algebra, e vorrei chiedervi conferma che siano giusti i passaggi che ho fatto, e aiuto su come proseguire

"Sia dato il Gruppo $G = GL_2(F_2)$, con $F_2$ il campo dove vale $1+1=0$. Si risponda alle domande:
1) G è abeliano?
2) Quale è la dimensione di G?
3) Considerato il sottogruppo $<((0,1),(1,1))>$: è un sottogruppo normale?
4) Si trovino generatori e relazioni per G
Mio svolgimento (vi prego di correggermi se qualcosa non è corretto):
1) Affinchè G sia abeliano deve valere, per ogni $a,b in G$:
$ab = ba$
Prendiamo ad esempio: $a=((1,0),(1,1))$ $b=((1,1),(0,1))$ (si può verificare velocemente che hanno determinante diverso da zero).
Calcoliamo: $ab=((1,0),(1,1))((1,1),(0,1))=((1*1+0*0,1*1+0*1),(1*1+1*0,1*1+1*1))=((1,1),(1,0))$; facendo lo stesso per ba si trova $ba=((0,1),(1,1))$.
Quindi no, G non è abeliano.
2) Gli elementi di G sono tutte le matrici 2x2 in $F_2$ con determinante diverso da zero.
Per tentativi sono arrivato alla conclusione che G ha 6 elementi, che sono i seguenti:
$G={((1,0),(0,1)),((0,1),(1,0)),((0,1),(1,1)),((1,0),(1,1)),((0,1),(1,1)),((1,1),(0,1)),((1,1),(1,0))}$
Quindi G ha dimensione 6.
3) Definisco $b=((0,1),(1,1))$. Per determinare la dimensione di B:
$b^2=((0,1),(1,1))((0,1),(1,1))=((1,1),(1,0))$, $b^3=b^2*b=((1,1),(1,0))((0,1),(1,1))=((1,0),(0,1))=e$ ossia l'elemento neutro.
Quindi $:={e,b,b^2}=B$ ha dimensione 3.
Verifico che sia un sottogruppo normale, ossia che per ogni $g in G$ valga $g^{-1}BgsubB$:
dei 6 elementi appartenenti a G, è triviale la verifica per quelli che appartengono anche a B, poichè B è chiuso rispetto al prodotto righe per colonne. Per i restanti 3 elementi di G, ricordando che $g^{-1}eg = e in B$:
Elemento $g_1=((0,1),(1,0))$, vale: $g_1^{-1}Bg_1={e,((0,1),(1,0))b((0,1),(1,0)),((0,1),(1,0))b^2((0,1),(1,0))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Elemento $g_2=((1,0),(1,1))$, vale: $g_2^{-1}Bg_2={e,((1,0),(1,1))b((1,0),(1,1)),((1,0),(1,1))b^2((1,0),(1,1))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Elemento $g_3=((1,1),(0,1))$, vale: $g_3^{-1}Bg_3={e,((1,1),(0,1))b((1,1),(0,1)),((1,1),(0,1))b^2((1,1),(0,1))}={e,((1,1),(1,0)),((0,1),(1,1))}=B$
Quindi si, B è un sottogruppo normale di G.
4) Qui si tratta di un gruppo ciclico (credo), quindi generabile da un solo elemento. Ma non so come usare questa informazione per arrivare ai generatori e relazioni. I libri che sto utilizzando non mi aiutano a riguardo.
Qualcuno ha idea di come si potrebbe procedere?
Risposte
Risposta 2: ...e se tu non volessi procedere per tentativi? Indizio: la definizione di matrice invertibile è...!
"j18eos":
Risposta 2: ...e se tu non volessi procedere per tentativi? Indizio: la definizione di matrice invertibile è...!
Intendi forse verificare che valga: $g*g^-1=e$ ?
I 6 elementi li ho trovati verificando velocemente la condizione di determinante diverso da zero (CNS per invertibilità).
"Guerino":
[quote="j18eos"]Risposta 2: ...e se tu non volessi procedere per tentativi? Indizio: la definizione di matrice invertibile è...!
Intendi forse verificare che valga: $g*g^-1=e$ ?
I 6 elementi li ho trovati verificando velocemente la condizione di determinante diverso da zero (CNS per invertibilità).[/quote]
Sì, ma quante soluzioni ha $\det A=0$ in $\mathbb F_2$?
"killing_buddha":
[quote="Guerino"][quote="j18eos"]Risposta 2: ...e se tu non volessi procedere per tentativi? Indizio: la definizione di matrice invertibile è...!
Intendi forse verificare che valga: $g*g^-1=e$ ?
I 6 elementi li ho trovati verificando velocemente la condizione di determinante diverso da zero (CNS per invertibilità).[/quote]
Sì, ma quante soluzioni ha $\det A=0$ in $\mathbb F_2$?[/quote]
Ho imposto la condizione $|(a,b),(c,d)|=0$ in $\mathbb F_2$, e mi risulta equivalente alla condizione $ad=-bc$. Ne riesco a trovare 9, ma mi viene il dubbio che siano 10 perchè se per 6 ho determinante diverso da zero in totale devo averne 16 (numero di possibili combinazioni su 4 posti tra 1 e 0: 2*2*2*2=16).

Per il punto 4), (generatori e relazioni per G), c'è qualcuno che saprebbe suggerirmi su come procedere?
"Guerino":
Per il punto 4), (generatori e relazioni per G), c'è qualcuno che saprebbe suggerirmi su come procedere?
Esiste solo un gruppo di ordine 6 non abeliano (il tuo non lo è, lo hai già dimostrato), a meno di isomorfismo: quindi $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico su $3$ elementi (o se vuoi, al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero).
"killing_buddha":
[quote="Guerino"]Per il punto 4), (generatori e relazioni per G), c'è qualcuno che saprebbe suggerirmi su come procedere?
Esiste solo un gruppo di ordine 6 non abeliano (il tuo non lo è, lo hai già dimostrato), a meno di isomorfismo: quindi $GL_2(\mathbb F_2)$ è isomorfo al gruppo simmetrico su $3$ elementi (o se vuoi, al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero).[/quote]
Grazie per la risposta. Due domande (magari banali per voi, ma per un povero ingegnere che si è iscritto a matematica non lo sono

1) "Esiste solo un gruppo di ordine 6 non abeliano": immagino che ti riferisci al campo $ (\mathbb F_2) $, come sei giunto a questa conclusione?
2) Quindi dalla tua affermazione deduco che $ GL_2(\mathbb F_2) $ è isomorfo ad $S_3$, ossia al gruppo di permutazione di 3 elementi. Ciò si traduce nella seguente: $S_3~=GL_2(\mathbb F_2) $, ossia esiste una applicazione lineare biiettiva L tale che $L:S_3\toGL_2(\mathbb F_2) $. Quindi i generatori di $GL_2(\mathbb F_2) $ sono gli elementi di $S_3$ e la relazione è $L$.
Ma gli elementi di $S_3$ non sono $S_3={a,b,c}$? Cosa mi sfugge?
"Guerino":
1) "Esiste solo un gruppo di ordine 6 non abeliano": immagino che ti riferisci al campo $ (\mathbb F_2) $, come sei giunto a questa conclusione?
C'è una dimostrazione, ma non è elementare. Certamente ne esistono altre e i gruppisti te la diranno.

2) Quindi dalla tua affermazione deduco che $ GL_2(\mathbb F_2) $ è isomorfo ad $S_3$, ossia al gruppo di permutazione di 3 elementi. Ciò si traduce nella seguente: $S_3~=GL_2(\mathbb F_2) $, ossia esiste una applicazione lineare biiettiva L tale che $L:S_3\toGL_2(\mathbb F_2) $. Quindi i generatori di $GL_2(\mathbb F_2) $ sono gli elementi di $S_3$ e la relazione è $L$.
Ma gli elementi di $S_3$ non sono $S_3={a,b,c}$? Cosa mi sfugge?
$S_3$ è l'insieme delle biiezioni dell'insieme $\{a,b,c\}$, non $\{a,b,c\}$.

$GL_2(F_2)$ non è uno spazio vettoriale)
Grazie mille!
