Generatori e classi laterali sottogruppi
Ciao, credo di avere un serio problema con generatori e classi laterali di sottogruppi per cui ho diversi dubbi. Spero possiate aiutarmi.
Caso 1:
Siamo in \(\displaystyle \left( \mathbb{Z}_{45},+ \right) \)
il sottogruppo di ordine 9 viene generato da \(\displaystyle <\overline{5}> \)
quindi ho \(\displaystyle <\overline{5}> = \left\{ \left[ 5 \mod 45 \right], \left[ 5+5 \mod 45 \right], \cdots ,\overline{0} \right\} \)
e le classi laterali sono del tipo \(\displaystyle \overline{i} + \left\langle \overline{5} \right\rangle = \left\{ + [x] : [x] \in <5> , \forall 0 \le i \le 5 \right\} \)
Caso 2:
gruppo motiplicativo
dato il sottogruppo generato da \(\displaystyle \left\langle\overline{ g} \right\rangle \) , le classi laterali sono del tipo
\(\displaystyle \overline{i} \cdot \left\langle\overline{ g} \right\rangle = \left\{ \overline{i} \cdot \overline{x} : \overline{x} \in \left\langle\overline{ g} \right\rangle \right\} , \forall 0 \le i < g \)
Caso 3:
per un gruppo ciclico \(\displaystyle C_n \),
ad esempio \(\displaystyle C_{75} \) si ha il sottogruppo di ordine 15, \(\displaystyle \left\langle \overline{5} \right\rangle = \left\{ 5^1 \mod 75, 5^2 \mod 75, \cdots , \overline{0} \right\} \) dove i generatori sono gli elementi
\(\displaystyle [5]^i : mcd(i,15)=1 \)
ma in questo caso quali sono le classi laterali?
Ringrazio in anticipo chi mi riesca ad aiutare.
Caso 1:
Siamo in \(\displaystyle \left( \mathbb{Z}_{45},+ \right) \)
il sottogruppo di ordine 9 viene generato da \(\displaystyle <\overline{5}> \)
quindi ho \(\displaystyle <\overline{5}> = \left\{ \left[ 5 \mod 45 \right], \left[ 5+5 \mod 45 \right], \cdots ,\overline{0} \right\} \)
e le classi laterali sono del tipo \(\displaystyle \overline{i} + \left\langle \overline{5} \right\rangle = \left\{ + [x] : [x] \in <5> , \forall 0 \le i \le 5 \right\} \)
Caso 2:
gruppo motiplicativo
dato il sottogruppo generato da \(\displaystyle \left\langle\overline{ g} \right\rangle \) , le classi laterali sono del tipo
\(\displaystyle \overline{i} \cdot \left\langle\overline{ g} \right\rangle = \left\{ \overline{i} \cdot \overline{x} : \overline{x} \in \left\langle\overline{ g} \right\rangle \right\} , \forall 0 \le i < g \)
Caso 3:
per un gruppo ciclico \(\displaystyle C_n \),
ad esempio \(\displaystyle C_{75} \) si ha il sottogruppo di ordine 15, \(\displaystyle \left\langle \overline{5} \right\rangle = \left\{ 5^1 \mod 75, 5^2 \mod 75, \cdots , \overline{0} \right\} \) dove i generatori sono gli elementi
\(\displaystyle [5]^i : mcd(i,15)=1 \)
ma in questo caso quali sono le classi laterali?
Ringrazio in anticipo chi mi riesca ad aiutare.
Risposte
CIa0, seguendo le tue notazioni e denominazioni: nel caso (1) le classi laterali sono \(\displaystyle5\) e le puoi indicare con \(\displaystyle\overline{i}+\langle5\rangle\) con \(\displaystyle i\in\{0,1,2,3,4\}\).
Il caso (2): non ho capìto che gruppo consideri!?
Il caso (2): non ho capìto che gruppo consideri!?