Generatori di una estensione algebrica
Salve ragazzi,
mi trovo con notevoli difficoltà nel svolgere questo esercizio di algebra:
Sia dato il polinomio P(X) = X^4 - 2 a coefficienti nel campo Q.
(a) Si provi che è irriducibile
(b) Si provi che il campo K = Q/(P(X)) è un’estensione algebrica di Q e se ne trovi un generatore
(c) Considerato K come sottocampo di C, si stabilisca se contiene il numero complesso i
(d) Di K si trovi una base come spazio vettoriale su Q.
Verificare che P(x) è irriducibile lo so fare, ma negli altri 3 punti mi perdo, soprattutto non ho la minima idea di come trovare un generatore (punto b) e una base (punto d), ma anche sul punto c ho molti dubbi!
qualcuno mi sa aiutare? Grazie mille!
[xdom="vict85"]Fai attenzione con i titoli: quelli non sono gruppi.[/xdom]
mi trovo con notevoli difficoltà nel svolgere questo esercizio di algebra:
Sia dato il polinomio P(X) = X^4 - 2 a coefficienti nel campo Q.
(a) Si provi che è irriducibile
(b) Si provi che il campo K = Q/(P(X)) è un’estensione algebrica di Q e se ne trovi un generatore
(c) Considerato K come sottocampo di C, si stabilisca se contiene il numero complesso i
(d) Di K si trovi una base come spazio vettoriale su Q.
Verificare che P(x) è irriducibile lo so fare, ma negli altri 3 punti mi perdo, soprattutto non ho la minima idea di come trovare un generatore (punto b) e una base (punto d), ma anche sul punto c ho molti dubbi!
qualcuno mi sa aiutare? Grazie mille!
[xdom="vict85"]Fai attenzione con i titoli: quelli non sono gruppi.[/xdom]
Risposte
"Leok":
il campo K = Q/(P(X))
Intendevi questo $K=QQ[x]_{/(x^4-2)}$?.
Premetto che non so molto sull'argomento.
Ma per il quarto punto procederei applicando la formula dei gradi $dim_{QQ}QQ[x]_{/(x^4-2)}=deg(x^4-2)=4$ quindi $K$ è uno spazio $QQ$-vettoriale di dimensione 4 e $1,\bar(x), \bar(x)^2$ e $\bar(x)^3$ una sua base.
Si esatto intendo proprio questo.
Ok, anche io ho sempre fatto così, in un esercizio mi trovavo come soluzione una cosa diversa, ma evidentemente ricordo male la traccia. Grazie per la risposta hai confermato la mia tesi.
Sai anche qualcosa sui generatori? Non riesco veramente a capire
Ok, anche io ho sempre fatto così, in un esercizio mi trovavo come soluzione una cosa diversa, ma evidentemente ricordo male la traccia. Grazie per la risposta hai confermato la mia tesi.
Sai anche qualcosa sui generatori? Non riesco veramente a capire
Credo che $\bar(x)$ sia un generatore in primis perché ha ordine 4 poi perché operando con le sue potenze si ottiene tutto $K$
Chiedo scusa per il titolo, che sbadato, stavo completamente pensando ad altro!
Grazie per la disposta Dan95, riusciresti però a svolgere qualche passaggio? Ho intuito cosa vuoi dire, però non mi è del tutto chiaro.
Grazie per la disposta Dan95, riusciresti però a svolgere qualche passaggio? Ho intuito cosa vuoi dire, però non mi è del tutto chiaro.
$QQ[x]_{/(x^4-2)}={p(x)=a+b\bar(x)+c\bar(x)^2+d\bar(x)^3|a,b,c,d \in QQ}$
$\bar(x) \cdot \bar(x)=\bar(x)^2$, $\bar(x) \cdot \bar(x) \cdot \bar(x)=\bar(x)^3$ e $\bar(x)^4=2$(invertibile), quindi è chiaro che ogni elemento di $K$ è multiplo di $\bar(x)$:
$a+b\bar(x)+c\bar(x)^2+d\bar(x)^3=\bar(x)(a/2\bar(x)^3+b+c\bar(x)+d\bar(x)^2)$
$\bar(x) \cdot \bar(x)=\bar(x)^2$, $\bar(x) \cdot \bar(x) \cdot \bar(x)=\bar(x)^3$ e $\bar(x)^4=2$(invertibile), quindi è chiaro che ogni elemento di $K$ è multiplo di $\bar(x)$:
$a+b\bar(x)+c\bar(x)^2+d\bar(x)^3=\bar(x)(a/2\bar(x)^3+b+c\bar(x)+d\bar(x)^2)$
Grazie mille Dan95.
Ma quindi, quando mi viene chiesto di trovare un generatore, devo trovare quell'elemento che elevato alle varie potenze mi va a generare tutti gli elementi della base?
Ne approfitto della tua disponibilità, riguardo al punto C, hai qualche idea?
Grazie
Ma quindi, quando mi viene chiesto di trovare un generatore, devo trovare quell'elemento che elevato alle varie potenze mi va a generare tutti gli elementi della base?
Ne approfitto della tua disponibilità, riguardo al punto C, hai qualche idea?
Grazie
Un generatore (possono essere anche più di uno) è un elemento dell'insieme che attraverso le operazioni definite nell'insieme (in questo caso $\cdot$ e $+$) genera tutti gli altri elementi.
Per il punto C penserei all'estensione $K=QQ[\root[4]{2}i]$, ma non sono sicuro...
Per il punto C penserei all'estensione $K=QQ[\root[4]{2}i]$, ma non sono sicuro...
@dan95
Giusto.
Si potrebbe anche dire che $a$ e' un generatore di $K$ quando l'omomorfismo
di anelli $\phi:QQ[X]\rightarrow K$ dato da $\phi(f)=f(a)$, e' suriettivo.
Qua intendo $a$ come generatore di $K$ nel senso di $QQ$-algebra.
Non nel senso di $QQ$-spazio vettoriale o di anello o di gruppo.
Giusto.
Si potrebbe anche dire che $a$ e' un generatore di $K$ quando l'omomorfismo
di anelli $\phi:QQ[X]\rightarrow K$ dato da $\phi(f)=f(a)$, e' suriettivo.
Qua intendo $a$ come generatore di $K$ nel senso di $QQ$-algebra.
Non nel senso di $QQ$-spazio vettoriale o di anello o di gruppo.
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