Generatori di campi finiti
Salve, per differenti ragioni mi sono ritrovato a dover seguire il corso di algebra 3 in condizioni differenti dal solito, con un uso maggiore del potere computazionale. Ed ecco che mi sono ritrovato dinanzi al seguente problema.
Sia $F_(729)=F(\alpha)$ con $\alpha$ radice di $f(x)=(X^6 + X + 2)$ (estensione ovviamente di $F_3$) tale che generi il gruppo moltiplicativo, ovvero $<\alpha> =F_(729)^x$
Il problema è trovare un elemento $\sigmainF_729$ tale che il suo polinomio minimo sia di grado 6, ma che non generi il gruppo moltiplicativo.
Con il lavoro "sporco" computazionale sono partito da generici polinomi, fino a trovare che $x^6+x^5+2$ è irriducibile e ha come radice $\a^70$. Facendo dei rapidi conti con gli elementi del gruppo generato da $\a^70$ viene che questo polinomio è proprio il polinio minimo del nostro elemento.
In realtà però il compito assegnato mi richiede di fare l'inverso, ovvero partire da un elemento (espresso in funzione di $\a$) e da lì trovare il polinomio irriducibile di grado 6 di cui sia radice (io suppongo ce ne sia più di uno, ma anche su questo passo avrei qualche dubbio).
Bene, questo riesco a farlo per qualunque elemento del gruppo che abbia come polinomio minimo uno di grado 2 o 3 che generi una sottoestensione (gli unici ammissibili, per via della inclusione fra campi finiti) ma non riesco ad immagine un algoritmo per trovarne uno di grado 6 e, dunque, un altro generatore della estensione.
In sostanza: partendo dall'elemento $\a^70$ sono in grado di trovare il/un suo polinomio minimo?
A proposito della sottoestensione, mi viene posta tale domanda.
Per trovare un elemento $\binF_(729)$ tale che $F_9=F_3(\b)$ mi è sufficiente cercare un elemento che abbia ordine 8.
Perché avviene questo?
Beh, io ho pensato che se avessi la certezza che $$ a cui aggiungo lo 0 è un campo, allora la risposta seguirebbe dal fatto che i campi finiti sono unici. Ma io sono solo sicuro che sia un gruppo moltiplicativo, per quale motivo è anche sicuramente un gruppo additivo?
Sia $F_(729)=F(\alpha)$ con $\alpha$ radice di $f(x)=(X^6 + X + 2)$ (estensione ovviamente di $F_3$) tale che generi il gruppo moltiplicativo, ovvero $<\alpha> =F_(729)^x$
Il problema è trovare un elemento $\sigmainF_729$ tale che il suo polinomio minimo sia di grado 6, ma che non generi il gruppo moltiplicativo.
Con il lavoro "sporco" computazionale sono partito da generici polinomi, fino a trovare che $x^6+x^5+2$ è irriducibile e ha come radice $\a^70$. Facendo dei rapidi conti con gli elementi del gruppo generato da $\a^70$ viene che questo polinomio è proprio il polinio minimo del nostro elemento.
In realtà però il compito assegnato mi richiede di fare l'inverso, ovvero partire da un elemento (espresso in funzione di $\a$) e da lì trovare il polinomio irriducibile di grado 6 di cui sia radice (io suppongo ce ne sia più di uno, ma anche su questo passo avrei qualche dubbio).
Bene, questo riesco a farlo per qualunque elemento del gruppo che abbia come polinomio minimo uno di grado 2 o 3 che generi una sottoestensione (gli unici ammissibili, per via della inclusione fra campi finiti) ma non riesco ad immagine un algoritmo per trovarne uno di grado 6 e, dunque, un altro generatore della estensione.
In sostanza: partendo dall'elemento $\a^70$ sono in grado di trovare il/un suo polinomio minimo?
A proposito della sottoestensione, mi viene posta tale domanda.
Per trovare un elemento $\binF_(729)$ tale che $F_9=F_3(\b)$ mi è sufficiente cercare un elemento che abbia ordine 8.
Perché avviene questo?
Beh, io ho pensato che se avessi la certezza che $$ a cui aggiungo lo 0 è un campo, allora la risposta seguirebbe dal fatto che i campi finiti sono unici. Ma io sono solo sicuro che sia un gruppo moltiplicativo, per quale motivo è anche sicuramente un gruppo additivo?
Risposte
Ciao,
la parola magica è "Frobenius".
La caratteristica è $3$ perché $729=3^6$. La funzione $x to x^3$ è omomorfismo di campi (chiamato omomorfismo di Frobenius) essendo la caratteristica $3$, e tale omomorfismo fissa tutti gli elementi di $F_3$ (ovvio) quindi per esempio se $c=a^{70}$ è radice di un polinomio a coefficienti in $F_3$ allora anche $c^3$, $c^9$, $c^{27}$, ... lo sono (teoria base: prendi un'equazione polinomiale per $c$ e applica Frobenius).
Ora l'ordine moltiplicativo di $a$ è $3^6-1 = 728$ quindi definito $c=a^{70}$ abbiamo $c^3 = a^{210}$, $c^{3^2} = a^{630}$, $c^{3^3} = a^{434}$, $c^{3^4} = a^{574}$, $c^{3^5}=a^{266}$, $c^{3^6}=a^{70}=c$. Non è difficile mostrare (ma se vuoi ti scrivo la dimostrazione) che questi elementi sono tutte e sole le radici del polinomio minimo di $c$, quindi il polinomio che cerchi è
$(X-a^{70})(X-a^{210})(X-a^{630})(X-a^{434})(X-a^{574})(X-a^{266})$.
Ovviamente se fai il conto (o lo fai fare a un programma), cioè se svolgi questo (enorme) prodotto, ti deve restituire quello che hai già trovato.
In generale il polinomio minimo di un $c$ qualsiasi, chiamando $p$ la caratteristica (nel tuo caso $p=3$) è $(X-c)(X-c^p)(X-c^{p^2}) ...(X-c^{p^{m-1}})$ dove $c^{p^m}=c$.
la parola magica è "Frobenius".
La caratteristica è $3$ perché $729=3^6$. La funzione $x to x^3$ è omomorfismo di campi (chiamato omomorfismo di Frobenius) essendo la caratteristica $3$, e tale omomorfismo fissa tutti gli elementi di $F_3$ (ovvio) quindi per esempio se $c=a^{70}$ è radice di un polinomio a coefficienti in $F_3$ allora anche $c^3$, $c^9$, $c^{27}$, ... lo sono (teoria base: prendi un'equazione polinomiale per $c$ e applica Frobenius).
Ora l'ordine moltiplicativo di $a$ è $3^6-1 = 728$ quindi definito $c=a^{70}$ abbiamo $c^3 = a^{210}$, $c^{3^2} = a^{630}$, $c^{3^3} = a^{434}$, $c^{3^4} = a^{574}$, $c^{3^5}=a^{266}$, $c^{3^6}=a^{70}=c$. Non è difficile mostrare (ma se vuoi ti scrivo la dimostrazione) che questi elementi sono tutte e sole le radici del polinomio minimo di $c$, quindi il polinomio che cerchi è
$(X-a^{70})(X-a^{210})(X-a^{630})(X-a^{434})(X-a^{574})(X-a^{266})$.
Ovviamente se fai il conto (o lo fai fare a un programma), cioè se svolgi questo (enorme) prodotto, ti deve restituire quello che hai già trovato.
In generale il polinomio minimo di un $c$ qualsiasi, chiamando $p$ la caratteristica (nel tuo caso $p=3$) è $(X-c)(X-c^p)(X-c^{p^2}) ...(X-c^{p^{m-1}})$ dove $c^{p^m}=c$.
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