Generatori del gruppo simmetrico

[angus89]

Non riesco a dimostrare il seguente risultato

Una qualsiasi trasposione e un qualsiasi p-ciclo generano $S_p$

Ho fatto vari tentativi ma portano da nessuna parte...

[Studente Anonimo]

Naturalmente intendi che [tex]p[/tex] e' primo, vero? Altrimenti e' falso (basta prendere [tex]p=4[/tex] e [tex](13)[/tex], [tex](1234)[/tex], che generano un [tex]2[/tex]-Sylow di [tex]S_4[/tex]).

Chiama [tex]\tau[/tex] la tua trasposizione e [tex]g[/tex] il [tex]p[/tex]-ciclo.

Supponi che [tex]\tau=(12)[/tex] (puoi assumerlo, a meno di cambiare nome ai simboli). Se [tex]p[/tex] e' primo e [tex]g[/tex] e' un [tex]p[/tex]-ciclo allora esiste una potenza di [tex]g[/tex] che manda 1 in 2 (perche' [tex]p[/tex] e' primo), quindi puoi assumere che [tex]g=(12...p)[/tex] (ogni potenza non banale di [tex]g[/tex] e' un [tex]p[/tex]-ciclo, essendo [tex]p[/tex] primo).

Ora si tratta quindi di mostrare che [tex]\tau=(12)[/tex] e [tex]g=(12...p)[/tex] generano [tex]S_p[/tex]. Non e' difficile.

[angus89]

Si effettivamente p primo. Comunque fin qui ci ero arrivato, ma non riesco a concludere proprio che $(12)$ e $(12...p)$ Generano $S_p$.
All'inizio ho pensato di ragionare per cardinalita', ovvero cercare di determinare quanto e' grande il gruppo generato da questi due elementi, ma non riesco ad arrivare a $p!$, poi ho pensato di mostrare che tutte le trasposizioni sono generate, ma anche questo nulla. Non mi riesce proprio...

[Studente Anonimo]

Detti [tex]\tau=(12)[/tex] e [tex]g=(12...p)[/tex] considera i coniugati [tex]\tau^{g^n}=g^{-n} \tau g^n[/tex].