Generatore in GF(256)

[gabry451]

Stavo leggendo un libro di crittografia e mi sono imbattuto sui generatori.

Viene scritto che 0x03 = x+1 = 00000011 è un generatore in GF(2^8) e viene costruito nel seguente modo:

$$
(x+1)^2 = x^2 +1$$

$$(x+1)^3 = x^3 + x^2 + x + 1$$

$$(x+1) ^ 4 = x^4 + 1$$



e così via... fino ad avere tutti i possibili valori in GF(256).

Quello che non capisco, è come questi valori vengano calcolati. Vale a dire, quale calcolo viene effettuato?

Qualcuno mi può dare una mano a capire, perchè finisce che ci passo una settimana a rifletterci

[_fabricius_1]

La domanda è perché nello sviluppo delle potenze di $x+1$ alcuni coefficienti si annullano mentre altri diventano 1?

[gabry451]

Si, non capisco come gli sviluppa in questo modo.

[_fabricius_1]

Il procedimento che si segue è:
1. Calcolare lo sviluppo del binomio normalmente.
2. Sostituire ogni coefficiente con il resto della divisione per 2, cioè i coefficienti pari vanno a 0 e quelli dispari diventano 1.

Ciò segue dal fatto che il campo \(\mathbb{GF}(256)\) ha caratteristica 2, cioè in \(\mathbb{GF}(256)\) si ha che $1+1=0$.
Se la nozione di caratteristica ti è nuova potresti dare un'occhiata alla pagina di Wikipedia dedicata.

[gabry451]

Ti ringrazio. Era quello che stavo cercando!